分段函数之小议

张永清

【摘要】分段函数是一个函数而非几个函数，是其定义域被划分为若干部分，不同部分的x值依据不同的对应法则与y相对应。本文从分段函数的定义域为出发点简单讨论分段函数的值域、解析式、图像、函数值、单调性等。

【关键词】分段函数 定义域 值域 函数值 单调性

【中图分类号】O17 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）03-0155-02

1.分段函数的定义域与值域

分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域也是各段值域的并集。

例1 求函数f（x）=x2+4x（x≤-2）2x （x>-2） 的值域。

解：当x≤-2时，y=x2+4x=（x+2）2-4 所以y≥-4

当x>-2时，，y=2x，所以y>2-2=■

∵[-4，+∞）∪（■，+∞）=[-4，+∞）

∴函数f（x）的值域是[-4，+∞）

2.分段函数的解析式

分段函数解析式的求法很多，要根据题设条件选取合理的方法。通常情况下要按其定义域开展分类讨论，各个击破，最终写出表达式。

例2 设g（x）=0 （x≤0）1 （x>0），求函数y=g（x-1）的解析式。

解：令t-1=x，则当x≤0，即t≤1时，g（t-1）=0；

当x>0，即t>1时，g（t-1）=1，

故y=g（x-1）=0 （x≤1）1 （x>1）

3.分段函数的图象

作出分段函数的图象其分段函数的定义域是关键要素，通常用列表法画出对应的图象；画图的关键是根据定义域的不同范围，分别由表达式作出对对应的图象。画图时要注意各段自变量的取值范围，并且要标明关键点的坐标。

例3 已知函数f（x）=2x （x≤-1） 1 （-11），畫出这个函数的图象。

解析：该函数图象由一条线段、两条射线组成。如图所示，其中一条射线没有端点，另一条线段没有左端点。

例3图

一、分段函数的函数值

求分段函数的函数值时，应先确定自变量的取值在其定义域内的哪个子区间，然后再用与这个子区间相应的对应法则来求解函数值。

例4 已知f（x）=■x （x≤-2） ？仔 （-2

解：∵3∈[2，+∞） ∴f（3）=32-4×3=-3

∵-3∈（-∞，-2] ∴f[f（3）]=f（-3）=■×（-3）=-■

∵-■∈（-2，2） ∴f{f[f（3）]}=f（-■）=π

4.分段函数的单调性

判断一个分段函数的单调性，首先应对各段函数进行单调性的研究，然后再综合求解。

例5 求函数f（x）=x■+2x （x≤0）x-1 （x>0）的单调区间。

解：当x≤0时，y=x■+2x，由图象可知：在（-∞，-2]、[-1，0]上函数单调递减；在[-2，-1]上函数单调递增。

当x>0时，y=x-1 ，由图象可知：在（0，1]上函数单调递减；在[1，+∞）上函数单调递增。

综上所述，所求函数的单调递增区间是：[-2，-1]，[1，+∞）；单调递减区间是：（-∞，-2]、[-1，0]，（0，1]。

参考文献：

[1]数学①普通高中课程标准实验教科书.人民教育出版社2007.1

[2]孔黎.高等数学中国建筑工业出版社2000.12