高中数学教学类比推理法的实践与研究

高中数学教学类比推理法的实践与研究

马富强 （浙江省杭州市余杭高级中学 311100）

在高中数学学习中，类比推理是一大难点，而要实现高中数学的融会贯通，却又必须熟练掌握类比推理原理。本文试图对类比推理教学法在高中数学中的运用现状加以分析，并对类比推理法的作用、应用及原则与建议进行探究，旨在检验学生对知识的应用情况，不断开发学生的思维潜能，从而提升学生的整体素质。

高中数学 教学 类比推理

随着新课程改革的不断深入，素质教育逐渐被提上日程，因此学生的综合素质和能力有了一定程度的提升。但是，在高考的巨大压力下，高中仍无法摆脱应试教育的束缚，教师在课堂中只是告诉学生应该如何解题，因此效果并不理想。在学习过程中，要快速准确地掌握知识要领，就必须勤于思考、善于观察，不断总结规律，从而举一反三，有效解决此类问题。随着时代的进步以及新课程改革的不断深入，传统的“题海”战术已无法适应教育现状了。因此，教师需引导学生从不同的角度去看待问题、思考问题，找出多题一解以及一题多解的教学方法，并对习题解题技巧进行高度整合，真正做到“举一反三”。对历年的高考题进行深入分析可知，考题大多立足于课本知识，难、异、怪、偏的题目十分少见。由于学生在平日没有养成科学合理的数学解题思维，因此在面对题目时就表现得无所适从。倘若我们将已知条件和所学的知识点结合在一起，层层突破，进行类比推理，那么题目就容易解开了。因此，在平时的学习过程中，学生就需要养成科学的解题思维，并懂得运用多种解题技巧解决难题，这样一来，日后不管遇到什么类型的题目，都可做到得心应手。类比推理是指根据两个不同的对象所存在的某些相同的方面，推测两个对象在其他方面也可能相同，进而实现推理的一种方法。在高中数学学习中，需要用到类比推理法的地方很多，包括数列、立体几何以及解析几何等知识点。类比推理作为一种解决问题的新途径、新方法，能大力开拓学生的思维潜能，激发学生的学习欲望，进一步强化学生的思维认知，让学生在回顾旧知识的过程中巩固新知识，加强对新知识的理解，从而有效地吸收新知识，顺利解决新问题，从整体上提升学生的数学学习能力和水平。

一、类比推理法的作用

（一）能提升学生的自主学习能力和水平

作为一种科学研究方法，类比推理不但能帮助学生获取新的知识，还能帮助学生寻求解决问题的新途径和新方法。学生只要掌握了一种知识，就可以以此为切入点，研究和探索新知识。例如，教师在讲解“抛物线”这一知识点以后，可以让学生在掌握已知规律的基础上，充分发挥类比推理的作用，探索出椭圆以及双曲线的相关知识，明确这一类问题间的共通点。所以，在掌握类比推理方法以后，教师只要稍加指导，学生就可以掌握椭圆以及双曲线的相关理论，从而大大提高学习效率。

（二）能激发学生探索新知的欲望和热情

类比推理是一种抽象思维形式，将其运用到数学教学的过程中能够为学生探索新知识提供借鉴和指导。例如，在对空间问题进行探讨时，学生可以不断开发思维潜能，回想平面相关结论，在类比推理法的指导下，积极寻求解决空间问题的思路和方法，并以立体思维的方式，将平面相关知识类比到空间中，以此推理出点、线、面以及角的各种关系，得出空间结论。在类比推理法的指导下，学生的学习欲望被调动起来，能进一步提升其发散性思维能力，从而提高数学素养。

（三）能为学生解决问题提供方法与思路

类比推理可以将复杂的问题简单化，将陌生的问题熟悉化，有助于培养学生的创新性思维。在高中数学学习中，类比推理不仅仅能帮助学生解题，还能开发学生的思维潜能，为学生提供解题思路。在碰到难题时，学生只要在头脑中形成一定的概念和思路，就可以在类比推理法的指导下寻求到解决问题的方法。类比推理主要包括三种方式，即结构类比、结论类比、降维类比。结构类比主要用于解决二者之间有着结构上的类似的问题；结论类比就是将难以解决的问题与容易解决或者已经解决的问题的结论进行分析，在类比的过程中发现规律，从而妥善解决问题；降维类比多运用在空间结构中，维度多的问题一般难以解决，此时，学生就可以运用降维类比的方法，将其转化为维度较小的图形或者平面图形，从而找出解决问题的新方法和新途径。

总之，高中数学教学过程中，类比推理是一项重要的学习方法，有助于培养学生的创造性思维，提高学生的数学学习能力并且有利于培养学生的批判性思维，加深学生对数学知识的理解。

二、类比推理法的教学应用

（一）在数学概念中的应用

数学教学涉及的概念知识相当多，教师的首要工作就是让学生更好地理解并掌握这些分散的概念。教师在课程设计过程中要进一步解放思想，加强知识的完整性和系统性，将枯燥的理论知识转化为生动的生活实践，方便学生理解和记忆。在讲解新的概念时，教师要充分引导，让学生对旧知识进行回顾和总结，然后对概念进行类比推理，从而对新概念形成一个初步的感知，最终建立起完整的知识结构框架。以类比推理方式为指导，学生将更容易记忆和理解新概念，能进一步夯实学习基础。

比如，教师在讲解“二面角”这一知识点时，可以以角的概念为切入点，回顾角的概念，然后自然导出二面角。以课本为例，课本在合上和打开时平面的位置是不一样的，这一过程就会出现许多角度不同的角，也就是二面角。所谓的二面角，也就是指一条直线所在的两个平面所组成的图形。要理解二面角，就可以首先回顾已掌握的平面角的相关概念，由线到面，由平面角引申出二面角，从而加深学生的理解和记忆。尽管二面角的概念相对难懂，但是只要细心观察生活，我们不难发现，生活中的二面角随处可见，只要我们善于类比推理，那么掌握二面角概念和知识就变得相对容易。

再如，“等比数列概念”的教学中，因等比数列和等差数列之间有着密切联系，所以在教学过程中教师可以引导学生根据已学过的等差数列来推导出等比数列的定义。具体策略上，教师可以通过巧设问题以启发学生进行思考：（1）等差数列的定义是什么？（2）你能由此类比猜想出什么样的数列是等比数列？（3）结合事例，说说等比数列的定义。通过这样的概念引入，学生不仅可以对数学概念有深刻的理解，也促进了其对新旧知识的衔接，而且还可以培养类比思维，锻炼其分析问题、解决问题的能力。

（二）在数学公式中的应用

数学公式是高中数学教学的重要组成部分，公式理解和记忆起来较为吃力，加大了学生的学习难度。教师在讲解相关公式时，要运用类比推理的方法，总结公式之间的相似之处或者共通点，尽可能消除学生的记忆障碍。比如，笔者在讲解立体几何的过程中，讲解主体知识之前首先引入了主体体积的计算公式，充分发挥类比推理的优势，为学生创设了类比条件，让学生在比较和鉴别中掌握了数学公式。之所以这样设计，就是要让学生更直观地感受到公式本身，而不是公式的推理过程。

（三）在数学运算中的应用

在高中阶段的学习中，数学运算有其相似性，教师要善于发现和利用这些相似处，推动类比教学的有序开展。比如，概率事件的运算概念比较枯燥、抽象，教师在对这一知识点进行讲解时要善于发挥类比教学的优势，创造合适的介质，鼓励学生自主学习和思考，然后教师再统一对问题进行集中讲解，将概率事件和集合进行类比推理，给学生以直观的感受，并充分发挥联想和想象，将概率事件运算运用到实际生活中。只有这样，学生才能更好地理解和掌握新的运算方法，并对二者的异同点进行比较，从而找出适合自己的学习方法，强化知识记忆过程。

（四）在知识整理中的应用

要积累更多的知识就要加强对知识的更新和整理，建构起系统的知识网络框架，为学生提供便利条件。比如，教师在对空间向量、平面向量以及共线向量进行讲解时，学生理解起来有些困难，所以教师就要改变教学策略，积极采用类比推理的方法，由线到面进而引出空间。线、面、空间之间有着密不可分的联系，要掌握好空间向量，就必须首先学好共线向量，进而是平面向量。而在学习等差数列和等比数列时，教师要加强引导，鼓励学生找出二者的异同点。不论是等差数列还是等比数列，它们都是一个具体的数列，从第二项开始它们依照一定的规律进行排列。所谓的等差数列，也就是后一项数列较前一项数列始终增加等值的数，比如1，3，5，7，9……所谓的等比数列也就是指前一项和后一项的商为一个固定数值，但常数项不能为0，比如2，4，8，16……它们之间有着许多的共通之处，教师可以引导学生对这些相似之处进行总结和归纳，进一步加深记忆。总之，在数学学习过程中，要善于总结和归纳，从而建构起完整的知识网络体系，更加灵活地运用所学知识。

在学习新知识时，教师一定要注重教学策略和技巧，细致、全面地对知识点进行讲解，培养学生的逆向思维和发散性思维能力。而且，要科学合理地运用各种变式，对知识点的考察方向进行准确把握，掌握知识要点。文本中对命题变式和概念变式进行了讲解，但是讲解较为单调、抽象，为了方便理解和记忆，接下来我将以典型例题变式为例进行细致讲解和说明。

我们知道用基本不等式求最值，要满足“一正，二定，三相等”三个条件。

变式1不满足“一正”条件，即x＜0，不能直接用基本不等式。所以我们可以首先作如下变形：所以y≤-2，当且仅当时，即x=-1时，有最大值-2。

变式2 不满足“三相等”。

变式3先对题目中的结论变形作处理，再利用基本不等式。

假若教师只对例题本身进行讲解，忽视变式的学习，那么在不等式条件基本满足的情况下，直接套用公式便可得出正确结论，但是学生会因此而失去思考的机会。相反的，变式1则更加看重练习，实践效果好。可见，教师适时引入变式训练，能不断培养和激发学生的发散性思维能力，从而提升课堂训练效果。此外，要消除学生的懒惰和消极情绪，帮助学生养成良好的学习和思维习惯。相对于初中生而言，高中学生的课业负担更繁重，只有具备了坚强的学习意志和良好的学习习惯，才能保证学业的顺利完成。例如，下课之后，学生要及时复习巩固知识点，对知识进行总结和归纳，做作业之前必须复习新知识，切实提学习效率。

（五）在解题思路中的应用

要切实提高数学学习效率，就必须将知识运用到解决实际问题中来。在解题的过程中教师可以明确掌握学生的知识能力，所以解题在高中数学学习中有着不可忽视的作用。类比推理不但能对新问题进行推测，还能提供解题思路。

比如，在对空间几何进行研究和讲解时，多数学生由于缺乏空间思维能力，而难以理解相关知识点。在对球体进行讲解时，教师要引导学生回忆圆，进而推导出球的体积、表面积以及内接图形等相关概念。在一个平面内，到定点的距离等于定长的点的集合所组成的图形就是圆，而球是在一个空间范围内到定点的距离等于定长的点所构成的空间图形。圆是平面图形，圆的面积s=πr2.圆的周长c=2πr；球是空间图形，3球体表面积公式，体积为。处理一些球体的问题可以借助圆进行考虑，丰富空间想象力。在学习不等式时，我们可以借助类比推理讲解相关的内容。

如，，A＞0，那么4A+4B≥4AB。那么我们进一步研究就会发现4A+4B+4C≥4ABC。那么4A+4B+4C≥4ABC的关系呢？通过类比推理，我们发现4A+4B+4C≥4ABC。

（六）在命题教学中的应用

高中数学命题教学过程中类比推理是最为常见的思维方式，其作用非常大，从发现问题到提出新命题，都需要经历一系列的思维过程，这就包括类比、联想、推理、演绎以及归纳，只有经历了这一系列过程，新的命题才会最终形成。在数学命题教学中，教师要以命题的形成过程为基础，不断发挥类比推理的作用，研究命题的性质特征以及结构内涵。在立体几何的学习过程中，教师要引导学生将空间与平面进行类比，进而推导出空间图形的具体特征和性质；将球类与圆进行类比推理，推导出两球相切的具体特征和性质，从而更好地掌握和理解新知识。这样，能显著提升学生的类比推理思维能力，不断开拓学生的眼界和知识面，从而激发学生的学习欲望和热情。

如，教学楼的1楼到2楼一共有20级台阶，如果每步只能够跨一级或者两级，那么从1楼走到2楼一共有多少种不同的走法呢？面对类似的问题，我们如果采用直接思考的方式，必然十分复杂，并且将很浪费时间。如果此刻我们的教师能够引导学生通过已经掌握的知识来寻找到相关的模型，假设第n级台阶一共有fn种走法，如果想上到20级台阶，可以从19级一步到达，也能够从18级两步达到，这就可以得出f20=f18+f19……f3+f1+f2，而f2=2，f1=1，根据上述的推理，就能够得出f20=10946，因此，从1楼走到2楼一共有10946种方法。可以说这种类似的题目在高中数学中十分常见，这也是很多学生一直难以突破的瓶颈，如果教师将类比推理法应用到这类题目的讲解中，就能够开拓学生的思维，学生在遇到类似的题目之后也会应用不同的方法进行求解，这对于发展学生的逻辑思维能力十分有益。近几年，高考数学不断进行改革，更注重考察学生的理性思维能力，在数学命题中，类比推理题型逐渐加大了比重，成为了数学高考的一大亮点。因此，强化类比推理法的实践对于提高高中生数学学习能力是非常重要的。

三、类比推理法教学的基本原则

（一）导向性原则

在高中阶段，不同年级的数学教学内容不尽相同，这在一定程度上制约了类比推理的运用和实施。所以，教师要实事求是，从学生的具体情况出发，制定出切实可行的教学方案和策略，适时引入类比推理法，帮助学生顺利完成教学任务。数学的逻辑性和抽象思维较强，一般比较枯燥、晦涩，所以教师要为学生营造轻松愉悦的课堂学习环境，在类比推理法的支持下有序地开展教学活动，建构起完善的知识结构体系，实现新旧知识的有效对接和转移，从而有效提高学生的数学学习能力。

（二）过程性原则

就数学教学而言，类比教学应注重培养学生的思维能力，突出思维过程，引导学生主动学习，激发学生学习的主动性和积极性，从而实现学生综合素质的全面提升和进步。在具体教学过程中，教师要对类比条件进行精心设置，使问题尽量与最近所学知识接近，激发学生的思维潜力，让学生回忆起旧知识，从而寻找到新旧知识的相似之处，既温习了固有知识体系，又建构起了新的知识框架，能帮助学生培养起良好的数学学习习惯。

（三）参与性原则

学生是教学活动的主体，教师在教授类比推理时，要充分尊重学生的主体性，满足学生的个性发展需求，同时要不断改变教学策略，保持课堂氛围的轻松、愉悦，鼓励学生大胆质疑，为学生创造提问条件，并帮助学生养成良好的团队协作意识，激发学生的主动性和积极性，帮助学生明确学习目标和任务。教师只是知识的引导者而非灌输者，学生要主动投身到学习实践中，将学习作为自己成长进步的助推器。同时，要保证类比推理教学方法的顺利开展，就应该建立起教师与学生的良性互动关系，加强师生之间的交流和配合。教师要充分发挥引导者的角色，让学生学会应该在何时停下来思考，而且教师要细心观察学生的反映，保证类比推理教学的有序开展，合理控制课堂节奏，从而让学生享受到难得的知识体验过程。这样，学生才能进一步巩固旧知识，从而夯实新的知识基础，切实提高类比推理的教学效率。

四、应用类比推理法的几点建议

（一）要重视类比推理教学法的应用

随着新课程改革的进一步深入，培养学生演绎、归纳以及类比推理能力已经成为了数学教学中的重要方面，但是就具体情况而言，各学校教师缺乏对类比推理教学法的重视，不注重培养学生的创新能力和创造性思维。在教研例会中，高中数学教师极少提出类比推理教学法，大多数教师在头脑中缺乏对类比推理教学法的清晰认识。类比推理法是一种途径短捷的推理方法，它是立足已知认识未知的一种有效的试探性方法，颇具有创造意识，但也有一定的局限性。进行类比的两事物必须具有可比性，即在某些属性上具有相似性，否则将可能导致错误的结论。

（二）要完善类比教学模式的系统性

当前，类比推理教学模式并未渗入到高中数学教学中，学校方面对此缺乏认识，所以很难建立起系统、完善的类比推理教学模式，自然无法有效激励教师应用类比推理教学法。尽管有部分教师在课堂教学中运用到了类比推理教学法，但是任意性和随机性较大。

（三）要承认类比推理教学法的局限

就一定意义而言，类比推理有着显著的优势，它能以二者的相似特征为出发点，进而推理出相似的概念或者性质。但是类比推理并不是在任何情况下都适用，它只在一定范围内具备较高的可信度。学生在学习类比推理时要积极开动脑筋，学会思考和鉴别，不能为了应试考试而机械地学习类比推理方法。教师要不断改进教学方法，充分发挥引导作用，帮助学生掌握正确的学习方法，不断激发其学习兴趣。对一些教师而言，类比推理受到各种主客观因素的限制，能发挥的作用有限，所以他们不提倡花费较多的精力或者时间去讲解类比推理方法。但是就目前的应试考试而言，类比推理能帮助学生尽快找出解决问题的思路和方法。所以，数学教师要不断加强自身的专业素质，合理掌握类比推理的限度，既不轻视也不依赖，根据学生的实际情况制定切实可行的学习方法和策略，使学生更好地掌握类比推理方法，从而提高数学学习效率和成绩。

（四）要掌握学生的学情

研究数据表明，学生的年级越高，他们的类比推理能力就越强。不难看出，学生掌握知识的多寡以及训练强度严重影响着类比推理能力的提升和发挥。在年级升高的过程中，学生接触的数学题型越来越多，掌握的数学知识也越来越多，尤其是高三的学生，他们采用题海战术，相对其他年级有着更为丰富的解题经验，所以他们能从之前的经验中抽丝剥茧，寻找相似之处，从而快速、准确地解决问题。

综上所述，在高中数学中，类比推理占据着举足轻重的地位，教师要不断创新教学方法，将类比推理贯穿在教学的各个环节，让学生真正掌握类比推理的实质，从而提高其自主学习能力。在数学教学中，类比推理发挥着不可忽视的重要作用，它贯穿于我们的整个学习过程，而且生活实践中运用类比推理的例子极为常见。学习并掌握类比推理对我们来说极有必要，它能进一步激发和培养学生的发散性思维能力，显著提升数学学习效率。随着新课程改革的进一步深入，素质教育逐渐被提上日程。素质教育的出发点和落脚点就是培养学生的实践能力和创新能力，而类比推理恰恰满足了这一要求。在数学教学中适时引入类比推理，能显著提升课堂教学效果，推动学生综合素质的提升。

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（责编 齐真）