数学教学中如何培养学生数学反思能力

高敏

【摘 要】数学反思能力是学习者在数学学习中对数学认识过程的自我意识，自我监控能力，它对数学认识活动起指导、支配、决定、监控的作用。反思是数学思维活动的核心和动力。在数学教学中重视学生反思能力的培养，不仅能有效地使学生对于数学概念、定义、定理的理解和掌握，而且对学生认知水平的提高、思维的全面发展以及知识能力的相互转化都有特殊功效。本文着重在数学教学中，如何培养学生数学反思能力，做初步探讨。

【关键词】数学教学；反思能力；培养

数学教学要让学生在“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三个方面得到全面发展，要让学生通过数学学习具有较强的问题意识，敢于质疑，勤于思索，使之逐步形成独立思考的能力，能对自己的数学学习过程进行计划、反思、评价和调控，提高自主学习数学的能力。现在有不少学生在学习数学时忽略了反思维这一环节，常常出现“一听就懂，一做就错”的现象，辛辛苦苦而收获甚微，现针对学生反思意识淡薄甚至无反思意识的现状，提出在数学教学中如何打破常规思维来培养学生的反思能力，从下面四个方面谈点看法。

一、在数学教学中，注重数学定义的可逆性

定义是对一个名词的说明，它使得数学概念和语言联系起来，揭示了事物的本质属性，所以作为数学定义的命题其逆命题总是成立的，即定义具有可逆性。这一点学生会不自觉地在具体应用中忽略，教學中应要重视定义的反向思维的训练，对防止学生思维的单向定势是有益处的。因此，在数学教学中必须给以强调的。

例如：设f（x）=4x-2x+1求f-1（0）的值。

分析：常见的方法是：先求出反函数f-1（x），然后再求f-1（0）的值，但只要我们反方向用反函数的定义，令f（x）=0，解出x的值，即为f-1（0）的值。解得f-1（0）= 1，这就很容易地计算出f-1（0）的值。

二、在数学教学中，注重数学定理进行反思探讨

在数学教学中，有不少数学定理其逆定理是成立的，如三垂线定理：“在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。”而三垂线定理的逆定理也成立：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。在课堂教学中，应该深化对三垂线定理及其逆定理结合起来表述，现表述如下：

（1）设直线是平面α的一条斜线，直线是直线在平面α的射影，m是α内的一条直线，则有。这个定理及其逆定理在证明空间直线互相垂直时经常使用，应熟练掌握。这两个命题的实质揭露了这样的规律：在平面内，一条斜线和它在平面内的射影必定同时垂直与平面内某条直线。

（2）两个定理中包含以下要素：四线、三垂直、一平面。其中面的垂线是核心，有了面的垂线便可产生射影，这时三垂线定理和其逆定理就可以顺利运用了。

（3）三垂线定理及其逆定理应用时的关键是：找准相应的平面，认准该平面的斜线，确定该斜线的射影。

三、在数学教学中，注重对数学公式反思的探索

学生对公式的反思应用不大习惯，缺乏应用的潜意识，思维常定势在顺向应用公式上。所以，在教学中应强调公式的可逆性。有些公式在进行可逆性教学时，应首先注意它们：在“顺向”与“反向”形式上的差别与公式推导过程的逻辑依据的异同，最后还应说明它们在“顺向”“反向”应用上的不同，并加以对比，这样方能使学生深刻理解问题的实质。所有数学公式的使用都具有双向性，不能只熟悉从左到右的应用，教师还要时刻注意启发学生从右到左的反向使用，让学生感受到这种灵活的思维有时可收到意想不到的奇妙效果。

如：A2=|A|2是教学重点，也是难点，课本中缺少反向应用的训练，因而在具体教学中应该增加诸如：若，则x应是什么范围内的数？

四、在数学教学中，注重对数学知识的反思探讨

很多的数学知识在其结构上具有反向特征，数学知识本身充满着正反两个方向的转化，为了优化学生思维的各种品质、丰富学生解决问题的手段，特别是培养学生的思维能力方面，更注重对数学知识的反思能力的探讨。在数学教学中，应抓准时机，注意有意识地多方位、多角度、早渗透，采用类比、发现等方法相结合，培养学生的反思维能力，摸索出一套符合学生实际情况的方法。

另外，反思是数学思维活动的核心和动力，通过反思才能使现实世界数学化，没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平。实际上，培养学生对自己的学习情况进行反思，是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法。但学生反思能力的形成需要漫长的过程，教师在教学过程中除了有意识地培养之外，还应注意以下三个方面来：

1.重视基础知识

反思不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复，而是数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究的性质；反思的目的也不仅仅是为了回顾过去，更重要的是指向未来的活动，是为了更好地提高学习效益。通过反思，让学生在反思中将知识主动得到“内化”，“顺应”，从而构建新的良好认识结构。而基础知识、基本技能的理解与掌握是正确、有效思维的前提。因此，教师在教学中应加强对学生基础知识的培养，只有学生具有扎实的基础知识，才能实现知识上的“知其然，知其所以然”，使学生的学习收到“书越读越薄，概念越学越清，知识越来越精”之功效。

2.重视“顺向”与“反向”思维联结的约束条件

杜威认为：反思活动是“一种得以产生思维活动的怀疑、犹豫、困惑、心灵困难的状态，和一种为了发现解决这种怀疑，消除和清除这种困惑而进行的探索、搜集和探究的行为。”由于学生的思维活动具有内隐性和自动化的特点，大多数学生在解决问题时很少意识到自己的思维过程，缺乏反思意识和反思能力，造成学习效率不高。

当然数学学习不能回避解题，但从学生解题习惯来看，存在着许多不尽人意的地方。好多学习比较刻苦的同学，埋头做了大量习题，但解题时仍破绽百出。其主要弊端是：只注重做题的数量，而不重视做题的质量；只注重解题结果，而不重视解题的过程及解题后的反思。缺乏反思的解题是低效的学习活动。因而在解题中要注重培养学生的反思能力。

3.重视有意识地多方位、多角度等多种方法相结合

在数学问题解决后，教师应有意识地引导学生多角度、多层次、全方位的进行反思，使得学生掌握知识的层次更具深度和广度，思维更深刻，使学生会解一道题到会解一类题，把数学思维提高到一个由例及类的档次，形成有效的“思维连”，这样，有利于学生今后对解题途径作出快速选择，简化思维过程，缩短思维回路，提高思维的敏捷性和灵活性。

最后应该指出，加强双基教学，让学生清晰地牢固地掌握好基本概念和一般解题思路，是培养学生反思的前提。而反思又是巩固知识、加深理解必不可少的过程，因此只有在求同思维的基础上加深对基本概念、规律的理解和掌握，强化所学的知识，牢固地打好基础。然后再经教师潜心引导，多方面启迪，才能使学生的思维得到发展。

总之，培养学生的反思能力，只有在教学中坚持综合训练，全面培养，才能不断完善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维品质，激发学生的开拓创新精神.尽量不使反思成为学生的额外的负担，让学生做到反思而不反感。使反思能真正成为陪伴学生成长的好朋友，学习的好助手。因此，教师要将反思能力的培养有机地渗透在数学教学的各个环节，使学生养成自觉地应用它去思考问题和解决问题的意识，提高理解问题、分析问题和解决问题的能力。

参考文献：

[1]普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.7

[2]张定强，赵宏渊.论数学反思维能力[J].课程·教材·教法，2005

[3]林婷.培养学生反思维能力，提高课程课堂教学有效性[J].数学通报，2009.2