一道调研试题的多视角求解

☉江苏省南京市秦淮中学 周国溢

一道调研试题的多视角求解

☉江苏省南京市秦淮中学 周国溢

一、试题呈现

题目（南京、盐城2014届高三年级第二次模拟考试第17题）如图1，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB、AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、 N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）.

图1

二、视角选择

分析：根据题意易知，仓库与工厂三点构成的三角形始终为等边三角形，并且要求工厂对村庄的影响最小，即PA的距离最长.综合上述解读，可以将题意理解成：将一边长为2的等边三角形放置在一个60°角的区域内，使三角形的两顶点分别置于角的两边上，并且第三个顶点到A点的距离最大.明显，这是一道求最值的问题，按一般的解题思路，求最值问题往往会利用函数的有界性、不等式的有界性，或者利用图形本身的几何特性限制范围.

（一）视角一——函数的有界性

要利用函数的有界性，首先，构造相关函数，找出函数定义域，对于本题易知所要构造的目标函数是三角函数，然后，求出目标三角函数的上界，即可求出最大值.

1.单刀直入，解三角形

本解单刀直入，从正余弦定理切入，将等边三角形的边MN与角的一边AM所形成的角作为自变量θ，利用解三角形的相关知识将所求线段长度转化成关于θ的三角函数，利用三角函数的有界性，求其上界得到最大值.

2.直角特殊，构造直角

过点P作AB的垂线PD，易知PA2=PD2+AD2，要求PA，需将勾股定理表达式转化成三角函数的表达式即可.

图2

本解法在解题思路上与上解出于同源，但却不同路.其不同之处即所利用的三角形为直角三角形，而构