对“0是自然数”的几点教学思考

张伟东

一、计数的历史

数量是对生活中具体事物的抽象，而数是对数量的抽象，或者说，“数”就是用来描述具体事物的多少这个抽象概念，当客观的需要要求人们弄清楚所有物的多少时，“数”的产生就有了它的合理性，只是，在这种合理性之中还有缺陷，就是对“零”的忽视。由于人们最初只是记录有具体数量的物体的“数”，而对于一无所有的现象并不感兴趣，所以，在古代中国、埃及以及后来的古罗马等地使用的数字符号中，都没有表示“零”的符号，如今通用表示“零”的符号为“0”，是直到约公元5世纪才由印度人首先提出的。或许就是因为这种惯性思维，近代以来，人们也大都是把“1”看作自然数的开始，依然没有对“0”加以多少的关注。

二、为什么自然数可以包括“0”

如果只是为了尊重国家标准的严肃性，而将“0”硬性地划入到自然数系当中，说服性是不高的，所以，必须从理论与实际两方面认识“0”作为自然数的合理性与价值，才能使我们更清楚地了解自然数的性质，这也才是正确的学术态度。

首先，从自然数的公理系统（皮亚诺公理系统）来看，定义自然数，需要规定自然数的起源、后继性并在此基础上衍生、推广出整个自然数集。这里需要注意的是，该公理最初规定自然数是从“1”开始的，并在“1”的后面通过直接后继的方法生成所有的自然数，而后来皮亚诺又把自然数改成了从“0”开始，这是为了说明“0”不是任何数的后继，它有其特有的性质。

在教学中，我们可以给学生说明一个道理：数数不一定非得从眼见为实的“1”开始，空无一物的东西也需要加以重视，“0”可以省略，但绝不能忽略。普通的自然数可以当成是实实在在的“存在”，“0”则是潜在的“存在”，两者可以互相转化，忽视任何一方面内容都是不正确的。当然，小学数学课堂里没必要上升到哲学的层面，但培养学生思考事物本质的思维却是大有裨益的，这也符合培养学生数学意识的新课标精神。

其次，“0”成为自然数之后，对数的扩充起到了很大的作用。从定义来看，正整数表示的是大于“0”的整数，自然数按照原定义则是从“1”开始的用以计量事物的件数或表示事物次序的数。且不说两者在数集上是重合的，浪费了资源，当遇到数集扩充到整数集的问题时，他们所能提供的帮助也很有限的。一句话，还是忽略了“0”的存在！

具体来看，想从正整数集（或是原来的自然数集）直接扩展到整数集，在书写与教学时还需加上一个“0”，因为正整数可以有相反数，而0不是任何数的相反数，显然，这样的描述是不符合简约化要求的。而新自然数集的产生弥补了这一缺陷，使数系的扩充更简便，更有说服力。另外，小学课堂在讲解十进位制的时候，如果出现“逢十进一”的情况，这里的“10”是自然数，而“0”却不是自然数，这将给学生的理解带来一些困难，也是不利于教学的。

三、自然数里加入“0”之后，引起的一些现实教学问题

问题一：“最小的一位数是0还是1？”想弄清楚这个问题，首先要知道关于“几位数”的准确定义，《现代汉语字典》上明确说明：“用几个数字写出来的自然数（最左端的数字不能是0），就叫几位数。”也就是说，字典上是默认0不能单独作为一位数存在的，自然也就不是最小的一位数了。再进一步考虑“0”在实际生活中的用途，即：表示什么也没有、表示起点或界限、起到占数位的作用等等，尤其是最后一点作用——占数位：一般我们在记数时，如果数的某一数位上一个单位也没有，就用0来占位。比如，10的个位，100的十位、个位上一个单位也没有，就用0来占位。而如果出现“00”“000”这样的数，不论是占数位还是单独出现，都是非常不符合常理的。所以，在通常的位数教学中还是应该避免涉及“0是几位数”的問题，我们只能说0是最小的自然数，并默认“1”是最小的一位数。

问题二：“曾经自然数可分为质数、合数和1，那么，0成为自然数之后，到底是质数还是合数，或是单独成为一类？”这是一个新数集内的分类问题，由于数学学科的科学性，人们的惯性思维是把每一个概念都分析清楚，并安排好它们的“归宿”，似乎不分门别类地排好顺序，就拿不出手。

问题三：“如何处理约数、倍数问题中的0？”在这个问题上，现行教材对于约数、倍数等概念中都选择了不包括0的策略，算不上逃避，但至少是暂缓解决。

总而言之，“0”这个数字是有其特殊性的，它虽然同其他的阿拉伯数字一样也来自神秘的古印度，但受佛教影响，表示一种超脱于现实事物的绝对存在，类似于中国道家里的“道”。简单地说，数“0”自成一家，数“1”到无穷是另一类。而作为人们数数的工具，自然数在后来将其源起从“1”扩展至“0”，也是为了更一般的描述数与数量，描述这个世界。因此，在实际教学中，不论遇到什么样的问题，都需记住自然数的计数本质，那么问题就一定能够解决。

参考文献：

张奠宙.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.