圆、椭圆、三角形的一个相关性质的证明

●蔡玉书 (苏州市第一中学 江苏苏州 215006)



圆、椭圆、三角形的一个相关性质的证明

●蔡玉书 (苏州市第一中学 江苏苏州 215006)

2009年东南地区数学奥林匹克竞赛有一道平面几何试题如下：

例1 如图1，已知⊙O,⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，证明：过⊙O上任意一点D，都可以作一个△DEF，使得⊙O,⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.

图1

《数学通报》2011年第6期徐道老师利用解析法证明了命题1：

《数学通报》2011年第10期“对一道例题的探求与发现”中研究了这样的试题：

例2 已知P，Q，R为抛物线y=x2-2上3个不同的点，求证：当直线PQ与PR都和圆x2+y2=1相切时，直线QR也和该圆相切.

该文得到并证明了：

命题2 过抛物线C1:x2=2py上的点A向⊙C2:x2+(y-b)2=r2(其中p>0，b>0，r>0)引2条切线AB，AC,分别交抛物线C1于点B，C，联结BC，则直线BC是⊙C的切线的充要条件是2pb=r2+2pr.

该文最后得到了一个猜想,笔者证明之:

证明 设A(acosθ1,bsinθ1)，B(acosθ2,bsinθ2)，C(acosθ3,bsinθ3)，则直线AB的方程为

a(cosθ2-cosθ1)(y-bsinθ1)=b(sinθ2-sinθ1)(x-acosθ1)，

即

因为AB与圆x2+y2=r2相切，所以

即

从而

[a2b2+(a2-b2)r2]cosθ1cosθ2+[a2b2-(a2-b2)r2]sinθ1sinθ2+[a2b2-(a2+b2)r2]=0，

(1)同理，由直线AC与x2+y2=r2相切，得

(2)

b2[a2b2+(a2-b2)r2]x1x+a2[a2b2-(a2-b2)r2]y1y+a2b2[a2b2-(a2+b2)r2]=0，

从而直线BC与圆x2+y2=r2相切的充要条件是

(3)

b[a2b2+(a2-b2)r2]=a[a2b2-(a2-b2)r2]，

图2

1)求圆G的半径r；

2)过点M(0,1)作⊙G的2条切线交椭圆于点E，F，证明：直线EF与⊙G相切．

(2009年江西省数学高考文科压轴题)

进一步研究得到:

a2r2(a+m+r)2=b2(a+m+r)2(a+m-r)(a-m-r)，

注意到(a+m+r)2>0，得a2r2=b2[(a-r)2-m2]，整理得

(a2-b2)r2+2ab2r+b2(m2-a2)=0.

(充分性)设A(acosθ1,bsinθ1)，B(acosθ2,bsinθ2)，C(acosθ3,bsinθ3)，即A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则直线AB的方程为

a(cosθ2-cosθ1)(y-bsinθ1)=b(sinθ2-sinθ1)(x-acosθ1)，

即

因为AB与圆(x-m)2+y2=r2(其中m≥0，r>0)相切，所以

即

亦即

从而b2(m2-r2)[1+cos(θ1+θ2)]-a2r2[1-cos(θ1+θ2)]-2ab2m(cosθ1+cosθ2)+a2b2[1+cos(θ1-θ2)]=0，

即 [b2(m2-r2)+a2(r2+b2)]cosθ1cosθ2+ [a2(-r2+b2)-b2(m2-r2)]sinθ1sinθ2-

2ab2m(cosθ1+cosθ2)+b2(m2-r2)+a2(b2-r2)=0.

因为(a2-b2)r2+2ab2r+b2(m2-a2)=0，所以

ab2(a-r)cosθ1cosθ2+ab2rsinθ1sinθ2-ab2m(cosθ1+cosθ2)+a2(b2-r2)-ab2r=0，

即

b2(a-r)x2cosθ1+abry2sinθ1-b2m(acosθ1+x2)+a2(b2-r2)-ab2r=0.

同理，直线AC与圆(x-m)2+y2=r2(其中m≥0，r>0)相切，得

b2(a-r)x3cosθ1+abry3sinθ1-b2m(acosθ1+x3)+a2(b2-r2)-ab2r=0，

从而点B，C在直线b2(a-r)xcosθ1+abrysinθ1-b2m(acosθ1+x)+a2(b2-r2)-ab2r=0上，此直线方程可以写成

b2[(a-r)cosθ1-m]x+abrysinθ1+a2(b2-r2)-ab2r-ab2mcosθ1=0.

注意到(a2-b2)r2+2ab2r+b2(m2-a2)=0，得

a2r2+b2m2=[b(r-a)]2， [b(r-a)]2-a2r2=b2m2，

从而圆心C2到直线BC的距离为

图3

这说明直线BC与⊙C2相切.

有趣的是我们还可以继续研究一个圆锥曲线的外接多边形是另一个圆锥曲线内切多边形的问题(如图3).

但是要获得一般结论，初等数学可能无能为力，希望读者进一步研究.

(本文得到胡晓昊老师的支持，在此一并感谢.)