一道全国高中数学联赛不等式试题的改进

●何 灯 李云杰 (福清市第三中学 福建福清 350315)



一道全国高中数学联赛不等式试题的改进

●何 灯 李云杰 (福清市第三中学 福建福清 350315)

问题 设a,b,c>0，且abc=1，证明:

(1)

这是2013年全国高中数学联赛B卷第10题，安振平老师及宋庆老师均在其博文中对该不等式的证明及改进作了探讨.文献[1]将上式加强为

(2)

本文拟给出式(1)的另一种改进.

结论 设a,b,c>0，且满足abc=1，则

(3)

整理并去分母，得

评注 上述证明采用的调整法，是证明条件为abc=1的不等式最常用的方法.令

可得

利用式(3)，可得宋庆老师微博上的一个不等式(Arqady不等式).

推论 设a,b,c>0，且满足abc=1，则

(4)

证明 由式(3)得

去分母并整理，得

即

(5)

注意到lna+lnb+lnc=ln(abc)=0，则式(5)成立，从而式(4)成立.

评注 构造“尾舵”函数同样也是证明条件为abc=1的不等式的常用方法.

[1] 范花妹,秦庆雄.一道2013年全国高中数学联赛试题的探究[J],数学通讯,2014(5):24-25.