由一道竞赛题想到的

●蒋孝国 (太湖高级中学 江苏无锡 214125)



由一道竞赛题想到的

●蒋孝国 (太湖高级中学 江苏无锡 214125)

例1 将集合{1,2,3,…,n}中的元素作全排列，使得除最左端的数之外，对于其余的每个数k，在数k的左边某个位置上总有一个数与k之差的绝对值为1，那么满足条件的排列个数为______.

本题是2013年江西省高中数学竞赛题，有一定的难度.要想解决该问题，需找准一个角度，运用所具有的知识认真分析题目的内涵，再通过观察、联想、类比找到解题路径.本题的关键是“从第2个数开始，数k的左边某个位置上总有一个数与k之差的绝对值为1”，这一条件表述比较抽象，蕴含着丰富的内容.笔者一时没有办法“看透”此条件，无法知道该条件蕴含的数学含义，一个自然而然的想法就会涌上心头：能不能从简单的情况入手去找规律，若能找到规律并将其整理归纳，然后解决一般性的问题，即从特殊到一般.

1 尝试——绝知此事要躬行

尝试是行动的开始.面对未知的事物，要知其究竟，尝试是行动的第一步，只有经过实践，才能知道事情的大概.该如何实践呢？从认知规律上来说，先认识简单的，再认识复杂的.数学家华罗庚也说过：“要善于退，退到不能退时，发现事物的本质.”下面笔者从特殊情况开始尝试，去寻找其规律.

对集合{1,2,3,…,n}，记满足条件的排列个数为An.

1)当n=1时，A1=1.

2)当n=2时，数列1,2；2,1都满足题意，此时A2=2.

3)当n=3时，数列1,2,3；2,1,3；2,3,1；3,2,1都满足题意，此时A3=4.

4)当n=4时，数列1,2,3,4；2,1,3,4；2,3,1,4；3,2,1,4；2,3,4,1；3,4,2,1；3,2,4,1；4,3,2,1都满足题意，此时A4=8.

从n=1,2,3,4这4种简单情况猜测：对于n=k，有Ak=2k-1.从具体的数列来看，发现这3个规律：①末项为该数列的最大数或最小数；②单调数列满足要求；③数列是先增后减，或者是先减后增.于是，我们对满足条件的数列，有了一定的认识，但这种认识不全面，需要继续挖掘，从中找到问题的本质.

2 从末项考虑——小荷才露尖尖角

末项比较有规律，要么是最大项，要么是最小项.记对1,2,3,…，n，满足条件的数列共An个，则对1,2,3,…,n,n+1，满足题意的数列为An+1个，可从2个角度来分析：

1)将n+1置于1,2,3,…,n所满足条件数列的末项，仍然满足题意，共An种方式；

2)将1置于2,3,…,n,n+1所满足条件数列的末项，仍满足题意，共An种方式.

因此，An+1=2An，且A1=1，解得An=2n+1.问题虽然解决了，但笔者想进一步挖掘，现在是“从末项考虑”的，能否从其他角度考虑呢？

3 从最大项考虑——横看成岭

对1,2,3,…，n,n+1，单调数列是满足题意的，n+1出现在首位或末尾.若出现在首位，其后面的数只能由其余的数从大到小排列，只有1种情况；若出现在末尾，满足题意的数列个数与1,2,3,…,n满足的个数相同，共An种情况.若出现在第2位呢？第3位呢？第i位呢？如果n+1排在第i位，则其后的(n+1)-i个位置，只能是n+1-i，(n+1)-(i+1)，…，2，1，而它之前的数只能是(n+1)-i+1，(n+1)-i+2，…，n，共有Ai-1种排法.令i=1,2,3,…,n+1，则

An+1=1+A1+A2+…+An=

(1+A1+A2+…+An-1)+An=2An，

同上可得An=2n-1.

得出结果后，笔者继续换角度思考.

4 从首项考虑——侧看成峰

满足条件的数列，要么先增，要么先减.无论先增后减，还是先减后增，都是对首项来说的.对于1,2,3,…,n,n+1，满足条件的某一排列，首项为k(其中1≤k≤n+1)，在其余的n个数中，大于k的n+1-k个数k+1,k+2,…,n+1按递增的顺序排列，而小于k的k-1个数1,2,3,…,k-1按递减的顺序排列.下面证明之.

对于任一个大于k的数k+m，设k+m

从上面的3个角度，观察出不同的规律，抽象出更一般的方法，得出不同的解决方案，真是“横看成岭侧成峰，结果总相同”.到此，问题得到圆满解决，笔者又想能不能更进一步挖掘该问题呢？

5 进一步思考——欲穷千里目，更上一层楼

例2 设a1，a2，…,an是整数1,2,3,…,n的一个排列，且满足①a1=1；②|ai-ai-1|≤2，其中i=2,3,4,…,n.上述排列的个数记为f(n)，求f(n)满足的关系式.

本题是2010年新疆维吾尔自治区高中数学竞赛题，可看成是例1的延伸，也可用从特殊到一般来解决.笔者将特殊情况的讨论隐去，直接给出解题过程如下.

解 容易求得f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2.当n≥4时，则一定有a1=1,a2=2或a2=3.

当a2=2时，从第2项起，每项都减去1，则a2，…,an满足条件的排列与1,2,3,…,n-1相同，此时排列的个数为f(n-1).

当a2=3时，1)若a3=2，则a4=4，从第4项起，每项都减去3，也可和1,2,3,…,n-3满足题意的数列建立一一对应，此时排列的个数为f(n-3)；2)若a3≠2，则满足题意的数列为1,3,5,7,…,6,4,2,奇数组成数列递增排列，后面接着是偶数组成的数列，按递减排列.此时只有1种排法满足题意.

通过上面的讨论可得

本问题还能延伸，可以继续研究.

6 待研究的问题——一山放过一山拦

思考1 将集合{1,2,3，…,n}中的元素作全排列，使得除最左端的数之外，对于其余的每一个数k，在数k的左边某个位置上总有一个数与k之差的绝对值为2，那么，满足条件的排列个数为多少呢？能不能写成关于n的表达式？

思考2 接上面的思考1，若与k的绝对值之差为m呢？m取何值时有解，该解能不能表示出来呢？

思考3 集合{1,2,3,…,n}中的元素作全排列，使得除最左端的数之外，对于其余的每个数k，在数k的左边某个位置上总有一个数与k之差的绝对值不超过2，那么满足条件的排列个数是多少呢？能不能写成关于n的表达式？

思考4 接上面的思考3，若与k之差的绝对值不超过m，那么满足条件的排列个数呢？

7 解题收获——吹尽黄沙始到金

解题告一段落，但解题后的反思，让笔者产生了不少的想法.下面从解题、思维方式以及提出问题这3个角度来阐释笔者的感想和收获.

从解题的角度来说，面对复杂题目，首先要调动知识储备，问自己“该题是什么类型的问题，涉及哪些知识，我有没有见过类似的问题，能否转化为所熟知的问题”，不断地进行自我拷问，能产生题感，给我们的解题带来想法，指出方向.但空有想法是不行的，要去执行，就是去尝试、探索.你所想的“解题道路”能否走通只有你亲自去走才知道，就像单墫所说：“要想学会游泳，你必须下水，要想学会解题，必须去解题.”“解题道路”上可能会遇到困难，一方面要时时监控你的解题过程，修正你的想法；另一方面要去坚持，不断思索，“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”,解题中的情感因素也能决定解题成败.

从思维方式的角度来说，本题采用的是从特殊到一般，特殊与一般的关系反映客观世界普遍联系的一般规律，是人类认识世界的重要思维方式，特殊中孕育一般，一般中发现特殊.在数学学习中，运用这一思维方式，对培养学生的数学思维、发现问题、解决问题等能力有着重要的意义.

从提出问题角度来说，解决该竞赛题时又产生了一些问题，这些问题使思考继续下去.波利亚说过：“好的问题像蘑菇一样，是成堆出现的.”因此面对问题时，要去考虑“相近的问题、相似的问题是什么？能解决吗？”“问题是数学的心脏”，教师在教学时，要让学生能提出自己的问题，提出有价值的问题.希尔伯特说“一门学科只有包含一定量的未解问题，它才具有生命力”、“问题是一只能下金蛋的鹅”.问题能促使我们思考，提高我们的数学学习能力和理解能力.