删繁就简三秋树

张子超

【编者的话】“删繁就简三秋树”是扬州八怪郑板桥的一句诗，意思是绘画作文要像深秋的树褪去繁枝茂叶，以最少的笔墨表达丰富的意蕴，达到以简驭繁的艺术效果.在解数学应用题时，我们经常会遇到多个变量的情况，这时如果能分析条件与条件、条件与结论的内在联系，把握量与量之间的关系，从而选择其中一个或极少数几个变量作为基本变量，将其他量用它（们）简洁地表示出来，建立函数或不等式求解，就能感受到“消元法”的威力，下面我们用消元法来探讨两个三角应用题.

1.如图1，某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6 km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站.记P到三个村庄的距离之和为y.变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

拿到题目乍一看，有点摸不着头脑，不知该如何下手.此题并没有给出明确的白变量，需要我们自己选择适当的自变量来进行建模求解.这时先不要急于考虑如何选择自变量，而是应该先考虑题目究竟让我们求什么.

这道题求的是变电站到三个小区距离之和的最小值，也就是点P到三角形三个顶点的距离之和的最小值.那么先把距离之和写成数量关系，即

V=AP+BP+CP=AP+2BP，

①

表达式虽然写出来了，但存在多个未知量，我们围绕着①式中的未知量，再深入分析这个三角形中各个量之间的关系，

由题意知

这里一共有y，AP，BP，PO，∠PBO五个未知量和四个等式，我们可以用消元的思想把y表示成其余四个变量中任意一个变量的表达式，然后根据该变量定义域的范围求解y的最小值.

这时我们还需要再思考一下，AP，BP，PO，∠PBO中选择哪个作为自变量最合适呢？看到这，也许有同学会有疑问：为何要写出④式，由前三个式子不就可以把y化为PO的表达式了吗？