解题中的数学史

孙承辉

解题的真正快乐来源于我们对数学题的深入探究以及对其内在美的体悟.许多经典试题的背后都隐藏着一段极为精彩的数学故事.现在，让我们跟随着这些题目，走一趟奇妙的历史与文化之旅吧，

一、穿越时空的毕达哥拉斯形数

形数理论可以上溯到古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯，毕达哥拉斯学派在研究数的概念时，用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，小石子可以摆成不同的几何图形，从而就产生了一系列的形数.

例1 （2013年高考湖北理科卷改编）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1.3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数为正方形数.记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

解后语 通过形数，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，有效地印证了该学派“万物皆数”的观点.另外，毕达哥拉斯还给出了形数的有趣性质，比如：两个相邻三角形数之和是正方形数，即N（n，3）+N（n+1，3）=N（n+1，4）.

毕达哥拉斯学派的学者甚至将这种数形结合的思想推广到三维空间，从而构造出了立体数.例如，前四个三棱锥数为

时光倒流，2006年高考广东理科卷中出现了一道以“三棱锥数”为背景的试题：

在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球垒成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球.以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=

；f（n） =

（答案用n表示）.

由此可见，毕达哥拉斯形数是多么神奇，充满了无穷的魅力.

二、经久不衰的阿波罗尼斯圆

古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足

，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆.”这个圆我们就称之为“阿波罗尼斯网”.

例2 （2008年高考江苏卷）若AB=2，AC= BC，则S△ABC的最大值是

阿波罗尼斯圆在高考中已出现过多次，如2006年四川理科卷的第6题，201 3年江苏卷的第17题，等等.

关于阿波罗尼斯的生平事迹记载并不多，但他的著作对数学的发展具有十分重大的影响.他是利用数学方法研究天文学（即用几何的模型去解释星球理论）的重要创始人，他与欧几里得、阿基米德合称为古稀腊亚历山大前期三大数学家.

三、妙趣横生的米勒问题

在《100个著名初等数学问题——历史和解》这本书中有个著名的雷奇奥莫塔努斯（ Regiomontanus）的极大值问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）

这个问题是德国数学家J.米勒于1471年向教授C.诺德尔提出的，这是载入古代数学史的第一个极值问题，它最初源于米勒对与欣赏美术作品有关的数学问题的思考.

例3 如图5，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m，若从离地高1.5 m的C处观赏它，则当视角θ最大时，C处离开墙壁

m.

解后语 米勒问题通常也称为最大视角问题，除了欣赏壁画外，在生活中它还有其他的表现形式，比如，

在某场足球比赛中，已知足球场宽为90m，球门宽为7. 32 m，一名队员沿边路带球突破时，距底线多远处射球，所对球门的张角最大？

不仅如此，在水利工程测量和水文测验的实际工作中，米勒问题对提高测量精度具有重大的指导作用.

下面给出一般化的“米勒问题”：

已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？

上述问题的结论称之为“米勒定理”：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大，此时OC=

（如图7）.

米勒问题在高考题中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查.以下一题请同学们动笔练一练，从中感悟一下米勒问题的魅力，

练习（2010年高考江苏卷改编）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如图8所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使∠BED（即α与β之差）较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，∠BED最大？

综合以上例子不难看出，许多“相貌平平”的数学题尤其是高考题竟然蕴含着如此浓厚的历史气息.因此，对于解题，解法的多样性固然精彩，然而更重要的是要了解一些数学史方面的知识，理清著名数学问题的来龙去脉，使我们知其然，更知其所以然.