“骑士巡逻”与幻方

方常春

《最强大脑》的口号是：让科学流行起来！而我们的口号则是：让数学流行起来！

第一季有一期对战西班牙，教授马丁·洛佩兹的“骑士跳”，给我留下了十分深刻的印象，因为这首先就是一个棋盘上的由来已久的数学问题，很是有趣.

这一问题最早可以追溯到9世纪的古印度的恰图兰卡.之后许多数学家都曾钻研此问题，包括欧拉在内.我们称之为“骑士巡逻（也叫骑士巡游）（Knight's tour）”：将一个国际象棋的骑士（或称马）放在棋盘上，有什么路径能使它按照规定走法（马步）走遍棋盘上每一格而无重复呢？

于是，“骑士巡逻”就成为了历史上比较有名的一个趣味问题流传下来，思考这一问题的人的初衷可能是为了好玩，但是数学家们却要思考趣味问题背后的秘密——找出所有的“骑士巡逻”路径.

H.C.von Warnsdorff在1823年提出了第一个系统化解决骑士巡逻问题的方法-Warnsdorff规则，

骑士巡逻问题其实是图论上的一个求哈密尔顿路径问题，假若骑士能够走回到最初位置，则称此巡逻为“封闭巡逻”；否则，称为“开巡逻”.孙彻然为马丁教授设计的这个问题，初始点与最终点之间刚好也满足马步跳，所以其实就是一个“封闭巡逻”.

接着，我们对比下“骑士跳”的规则：

在200～500之间任意选择一个三位数，然后在8×8的国际象棋盘中任意选择一个骑士的起点和终点，并且在起点格中任填写一个数字，然后按照国际象棋中跳马的规则，每走一步填写一个数字，直至走完整个棋盘.所走路线不能重复，填完之后，每一行每一列之和等于之前所选择的三位数.

不难发现，最大的区别在于最后的一句话：“填完之后，每一行每一列之和等于之前所选择的三位数.”

这不就是一个类似幻方的填充吗？

幻方，是人类智慧的结晶，它起源于中国的河图洛书，义被称为纵横图，公元13世纪，我国数学家杨辉首先对其开展了系统研究，欧洲的研究则要推迟至14世纪后，这义是一个历史悠久的“大家伙”啊！（关于幻方的科普书籍也有很多，比如吴鹤龄所著的《幻方及其他——娱乐数学经典名题》、谈祥柏所著的《奇妙的幻方》等，感兴趣的同学可以阅读）

而且比较巧合的是，数学家欧拉在这两个问题上都有过研究，他设计的马步半幻方（注：如果不能保证对角线相加等于幻和，就是半幻方），就很有意思.

如下图所示，在8×8的方格中，从1出发，按照国际象棋中马步走法，可以一直走到64而没有重复.

（注：之所以是半幻方，是因为利用马步构造偶数阶幻方非常困难，至今没有完美结果.）

这个发现令我们有些激动起来，因为半幻方就是利用马步跳来完成的，那么细想想，“骑士巡逻”与马步幻方之间是否存在着某种关联？

小小的一个“骑士跳”，竟然融合了“骑士巡逻”和幻方两个历史上都鼎鼎大名的数学趣味问题，而且沟通了中西文化，真是意义深远，令人回味无穷.

马丁教授的能力也很了得，他很可能是熟记了一个八阶的半幻方，并根据孙彻然提供的起点和终点现场寻找“骑士巡逻”的有效路径（一开始没找到，有些失误），然后通过对比起点和终点的数字与原来数字的差，以及八阶幻和260与477的差，进行加减运算后，得到了最终的一个解，

步骤可以演示如下：

1.记忆八阶半幻方一个，尽量规律性强些（甚至就类比于“骑士巡逻”的路线来操作，现场制作八阶半幻方），方便记忆，如下图所示：

2.孙彻然给出起点和终点的位置及相应的数字后，根据起点和终点寻找“骑士巡逻”的路径，如下图所示：

要找到这个路径并不是很容易，但是也有技巧可循.这里只稍作提示：观察上图的同类型区域（阴影区分），是比较容易实现马步循环的，一共有4种不同的类型，而你只要找到从一种类型跳到另一种类型的策略，就可以找出这个路径.规律性比较强.

3.根据数字31以及总和477，我们开始计算：

1比31少了30，要减，所以1到8的数字都要加上30，以保证每行每列的和同时增加30；

而新的和477比八阶幻和260多了217，现在还差217-30 =187，那就简单了，类似的方法，将49到56的数字同时加上187即可！最后就能得到马丁教授的那个解.