一题多解在高考中的应用

朱安风 徐晓兵

【摘要】“一题多解”是日常教学中常用的方法，通过不同的方法来解答问题，拓展学生的思维，提高学生分析和解决问题的能力.

【关键词】高中数学;比较法;不等式;数学归纳法;构造函数;一题多解

2014年安徽省高考数学（理科）第21题.

已知实数c>0，整数p>1，n∈N*.

（Ⅰ）证明：当x>-1且x≠0时，（1+x）p>1+px;

（Ⅱ）数列{an}满足a1>c1p，an+1=p-1pan+cpa1-pn，证明：an>an+1>c1p.

解题分析

①第（Ⅰ）问解题分析

解法1：（数学归纳法）

【人教版数学选修4-5第51页例3（贝努利（Bernoulli））不等式 如果x是实数，且x>-1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有（1+x）n>1+nx.】

（ⅰ）当p=2时，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2>1+2x，不等式（1+x）p>1+px成立.

（ⅱ）假设当p=k（k≥2）时不等式成立，即有（1+x）k>1+kx.

当p=k+1时，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k>（1+x）（1+kx）=1+x+kx+kx2>1+（k+1）x.

所以当p=k+1时不等式（1+x）p>1+px成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可知，不等式（1+x）p>1+px任意大于1的整数p都成立.

解法2：（构造函数）

设f（x）=（1+x）p-1-px，x∈（-1，0）∪（0，+∞），

f′（x）=p（1+x）p-1-p=p（（1+x）p-1-1），（p>1，p∈N*）.

当f′（x）=0时，x=0;当f′（x）<0时，x∈（-1，0）;当f′（x）>0时x∈（0，+∞）.

∴f（x）在x∈（-1，0）上递减，在x∈（0，+∞）上递增.

∴f（x）>f（0）=0.故不等式（1+x）p>1+px成立.

2.第（Ⅱ）问解题分析

（1）先证数列{an}的有界性，即证an>c1p.

利用数学归纳法证明：

（ⅰ）由已知n=1，由已知a1>c1p，即不等式an>c1p成立.

（ⅱ）假设当n=k（n≥1）时不等式成立，即有ak>c1p>0.

当n=k+1时，ak+1=p-1pak+cpa1-pk.

由-1<-1p<1p（capk-1）=1p c-apkapk<0及（Ⅰ）得

apk+1apk=p-1p+cpa-pkp=1+1p（capk-1）p>1+p·1p·（capk-1）=capk.

所以ak+1>c1p.

注：也可以利用以下方法来证明.

①apk+1=apkp-1p+cpa-pkp=apk1+1pcapk-1p>apk1+p·1p·capk-1=c.

②由ak>c1p，即ak≠ca1-pk，那么

ak+1=p-1pak+cpa1-pk=ak+…+ak+c·a1-pkp>pakp-1·c·a1-pk=pc.

③令φ（x）=p-1px+cpx1-p，x∈（c1p，+∞）

φ′（x）=p-1p+cp·（1-p）·x-p=p-1p（1-c·x-p）>0.

故φ（x）在x∈（c1p，+∞）上递增，φ（x）>φ（c1p）=c1p，则an+1=φ（an）>φ（c1p）=c1p.

所以当n=k+1时不等式成立.由（ⅰ）（ⅱ）可知，不等式an>c1p成立.

（2）再证单调性.

由an>c1p，则an+1-an=-1pan+cpa1-pn=anp-1+capn<0，故an+1

注：也可以利用以下方法来证明.

① an+1an=p-1p+cpa-pn=1p（p-1+capn）<1，故an+1

②F（x）=p-1px+cpx1-p，x∈（c1p，+∞）.

令G（x）=F（x）-x=-1px+cp·x1-p，x∈（c1p，+∞），

由p为大于1的整数，G′（x）=-1p+cp·（1-p）·1xp<0，

所以G（x）在x∈c1p，+∞上递减，G（x）

又an+1-an=F（an）-an=G（an）<0，故an+1

综上所述，由有界性和单调性的证明可知，不等式成立.

在日常教学中，采用“一题多解”的教学方法，多角度地分析问题，探究解题方法和解题技巧，提高逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.

【参考文献】

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4-5[M].安徽：人民教育出版社，2005.

[2]周远.高考数学命题的理论与实践[M].武汉：湖北人民出版社，2011.

[3]徐晓兵.从2013年高考数学卷理科20题所想到的[J].数学学习与研究，2014（3）：115-116.