素数表示形式

杨帆

【摘要】本文论述素数的一种表示形式，以及在这种表示下，导出的三个公式，进一步说明孪生素数的存在形式，梅森素数的归属类型及梅森素数的一个性质，费马数的归属类型及费马数的一个性质，受此启发对费马定理赋值拓展.

【关键词】素数表示;梅森素数;费马数;费马定理

P为任意素数，且P>3，则： P可以表示成6r+1或6r-1（r为正整数）的形式，即：

p=6r+1，

或p=6r-1 （r为正整数）.

P为任意素数，且P>3，自然可得：

p≡1（mod3）或p≡2（mod3），即：

p-1=3k或p-2=3k （k为正整数）.

既然 P为任意素数，且P>3，自然p-1为偶数，p+1为偶数.可以写出如下等式：

p-1=2h（h为正整数）=3k

=6r.

p=6r+1，或p-2=3k.

p+1=3k+3=3（k+1）=2h=6r.

p=6r-1.

那么孪生素数（除了2，3）只能是（6r-1 6r+1）的形式（前人已经发现此规律），上面式子也可以做如下解释：

P为任意素数，且P>3，则：p+1，p-1必有其一能被6整除.

梅森素数很著名，形如

2n-1 （n为素数）的素数

称为梅森素数.除了2，3所有的素数必是p=6r-1或p=6r+1的形式，梅森素数属于p=6r+1.

假设：p=6r-1=2n-1 （n为素数，n>2），

则：6r=2n.

这是不可能的.

令：p=6r+1=2n-1，

6r=2n-2，

3r=2n-1-1.

从上式我们得出2的n-1次方减1能被3整除，由于n为大于2的素数，所以n-1只是部分偶数，下面我们可以得到更强的结果.

记：

M=2n-1（n为偶数）

=22m-1

=4m-1

=（4-1）（4m-1+4m-2+4m-3+…+42+4+1）

=3t （n=2m，m为自然数）.

t=4m-1+4m-2+4m-3+…+42+4+1.

即：2n-1能被3 整除，当n为偶数时.

看到上式我想起了费马定理：如果p是任意一个不能整除整数a的素数，则

ap-1-1=sp（s为正整数）.

令a=2，得

2p-1-1=sp，

2p-1-1=3sp，（p≠2，3）.

即：2p-1-1（p≠2，3 p为素数）能被3p整除.

说到了费马定理，顺便提一下费马数，形如Fn=22n+1（n为自然数）称为费马数.

人们发现F0，F1，F2，F3，F4全是素数，以后再没发现素费马数，甚至至今还没有人能证明n>4时是否存在一个Fn是素数.素费马数（除了3）必是6r-1的形式（读者自己证明）.

接上面：

Fn-2=22n-1（n为偶数，则2n为偶数）

=3t.

即：大于3的费马数减2必能被3整除.

最后一个小公式了：

M=2n-1=3t，

2M=2n+1-2=6t，

2n+1+1=6t+3  （n为偶数）

=3（2t+1）.

为了方便把n+1记为n，则 n为奇数，把2t+1记为t，则t为正整数，可以写成下式：

2n+1=3t（n为奇数，t则为正整数）.即：

2n+1能被3整除，当n为奇数时.

取：任意梅森数M，

M=2p-1，

M+2=2p+1

=3t  （p为素数，p>2）.即：

大于3的梅森数加2必能被3整除.

【参考文献】

[1]Richard Courant，Herbert Robbins，Ian Stewart.What Is Mathematics左平，译. 增订版.复旦大学出版社，2005.

[2]卢昌海.黎曼猜想漫谈.第一版.北京：清华大学出版社，2007.