《高等数学》教学中的几何直观

夏揆达

摘 要：《高等数学》是高职学院开设的一门重要的公共课，《高等数学》的内容既有比较具体的计算内容也有一部分抽象的数学概念和数学理论。本文就《高等数学》教学中应用几何直观以及培养学生利用几何直观解决问题的能力提出一些探讨。

关键词：《高等数学》;教学;几何直观

高等数学是高职学院开设的一门重要的公共课，高等数学的内容既有比较具体的计算内容也有一部分抽象的数学概念和数学理论。教师在讲授数学知识的过程中抽象的、严谨的表述方式往往使学生难以理解和掌握数学中的概念、定理等内容。教师如何进行教学以帮助学生尽快掌握所学内容是值得探讨的问题。本文就高等数学教学中应用几何直观以及培养学生利用几何直观解决问题的能力提出一些探讨。

1 借助几何直观理解数学概念和数学语言

數学的学习进程实际上是思维活动的过程，是解决问题的进程，在高等数学教学中，教师往往感到抽象的数学概念及数学符号所包含的数学内容是教学中的难点，学生在学习数学的过程中对抽象的数学概念难以理解和掌握，为了突破这个教学难点，在教学过程中教师应尽可能地利用联想类比等数学思考方法作出所讲授的数学内容的几何图形，通过图形的直观演示，用通俗的语言讲解数学各内容的内在联系，引出新的数学概念，学生通过几何图形的直观认知，对引入的新的数学概念有初步的感性认识，逐步降低学习过程中的难点，高等数学中许多重要的基本概念都是用数学语言予以精确描述的。教学中应尽可能利用多媒体演示图形，教师在板书时结合内容作出相应的几何图形，让学生借助几何图形去思考数学概念的内涵。例如在引入空间曲面方程的概念时，为了使学生对曲面图形和曲面方程有清晰的认识，教学时，首先展示出几种常见的曲面模型让学生观察，指出曲面有各种不同的形状，了解曲面的一个重要方面是用代数的方法，从而引出曲面方程的问题，把一个曲面模型放在空间直角坐标系中，给出这个曲面的代数方程，指出在坐标系下，曲面上的每一个点的坐标都适合方程，方程的解有无数个，它的解构成坐标的点一定都在曲面上。这样很容易理解曲面与方程的内在联系，这种利用几何图形的直观认知，能使学生比较容易理解新的数学概念和数学内容，利用几何图形理解数学概念和数学语言。

2 借助几何直观讲解定理，启发思维的敏捷性

几何直观图形能以其生动的形象给人留下深刻的印象，在数学教学中对于一些重要的定理，尽可能作出几何解释，描绘出几何图形，借助几何直观讲解定理，找出定理的证明思路，全面理解定理的含义。例如，证明拉格郎日中值定理其辅助函数的引入，定积分的积分区间的可加性原理，空间向量的坐标表示方法，曲边图形面积的计算原理，等都要利用几何图形。

在高等数学的教学过程中利用几何图形的直观性容易分析和找出定理的条件和结论推导出计算公式，能提高学生尽快理解和掌握数学公式，同时也训练了几何作图的能力，并利用几何图形及数学知识解决具体问题。

例如，在讲解空间解析几何内容中的点到直线的距离公式，其公式的推导是教学中的难点，为降低难点，当把直线方程用点向式坐标方程表示时，为使学生容易理解和记住距离公式可作一个平行四边形的几何图形，在距离公式不容易记住时，可由直观图形（下图）帮助记住。点P0到直线L的距离d就是以和为邻边的平行四边形的底边S上的高，于是d=，这里P1是L上已知的一点，是L的方向向量。要计算点到直线距离，很容易作出上述几何图形，进而推出用坐标形式表示的计算距离公式。又如讲解求以直线L为轴，半径为R的直圆柱面方程，可以先启发学生思考直圆柱面是怎样形成的，它可看作为空间有一条固定直线，一个动点到这条固定直线的距离为R，这个动点的轨迹是圆柱面，由点到直线的距离公式推出直圆柱面方程。

由于空间坐标系的建立，把代数方程的数学形式与几何图形有机地结合起来，这样可以把思考代数的问题转变为几何的问题来思考，思维范围更加广泛和敏捷。

例如，求以直线L：==为轴，半径为R的直圆柱面方程，只要把它看成是空间中到直线L的距离为R的动点P（x，y）的轨迹，就可以容易地写出它的方程：

=R

由于坐标系的建立，把图形与方程联系起来，这就使得从几何上思考代数问题具有更加广泛的意义。

综上所述，借助几何直观，有利于学生深刻理解高等数学的概念、定理，有利于启发学生思维的敏捷性，是培养和提高学生分析问题和解决问题能力的一种有效教学途径。