莫入“数形结合”的误区

司春炎

数学研究的对象是现实世界中的数量关系和空间形式.作为中学数学极为重要的思想方法——“数形结合”，它把代数式的精确刻画和几何图形的直观描述结合起来，有利于几何问题代数化，代数问题几何化，进而促使学生把抽象思维和形象思维有机结合起来，从而使得复杂问题获得简单的解法.但在实际操作中，学生常因方法不当导致错误百出.因此，本文结合具体案例，谈谈学生在“数形结合”时常常出现的误区.

误区一：“形”有余而“数”不足

图 1例1 抛物线y2=8x与圆（x-a）2+y2=4没有公共点.求实数a的取值范围.

分析及解 这是一道很容易让考生犯错误的题.有学生是这样解的：如图1，当a<-2时，圆与抛物线显然没有公共点；

当a>0时，由

y2=8x（x-a）2+y2=4x2+8-2ax+a2-4=0（*）.

原題等价于方程（*）没有实数根，

∴Δ<0，得a>52.

综上，当a∈-∞，-2∪52，+∞时，该圆与抛物线没有公共点.

仅从解法上看，该题好像没问题.但在上述解法中，其实是“形”有余而“数”不足，所画的图形是不正确的（如果正确画图，圆与抛物线只能相切于抛物线的顶点）.

正确解法：圆心A（a，0）在y轴左侧时，由图可知当a<-2，圆与抛物线没有公共点.

圆心A（a，0）在y轴右侧时，作图无法精确，需要用计算的方法.

设抛物线上任一点P（x，y），此时等价于PA>2对x≥0恒成立.

∴PA2=（x-a）2+y2=（x-a）2+8x=x-a-42+8a-16>4对x≥0恒成立，

当a-4>0，即a>4时， 得8a-20>0，解得a>52， ∴a>4；

当a-4≤0，即a≤4时， 得0-a-42+8a-20>0，此时为2

∴a>2.综上得：a<-2或a>2时，该圆与抛物线没有公共点.

启示：以上例子说明，对数据的科学分析，是用数形结合方法正确解题的基础.要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成.否则，忽视“数”去孤立地研究“形”，仅凭随意的几何作图，数据分析不足，常会导出错误的答案.

误区二：“数”有余而“形”不足

图 2例2 已知函数f（x）=ln（x+1）-2x的零点在区间（k，k+1），k∈Z，则k=.

分析及解 不少同学是这样解的：发现f（1）=ln2-2<0，f（2）=ln3-1>0，且f（x）连续，由零点存在定理，f（x）的零点在区间（1，2）内，∴k=1.

答案果真如此吗？ 其实问题出在“数”有余而“形”不足，只顾埋头算“数”，却忽视了研究“形”.

实际上，f（x）=0即为ln（x+1）=2x，即等价于函数y=ln（x+1）的图像和函数y=2x的图像的交点横坐标在什么区间内，由图2易知，这两个图像共有两个交点，y轴右边的点的横坐标由上可知在区间（1，2）内，而在区间（-1，0）内也有一交点，而这点正是上面错误解法中所遗漏的解，∴正确答案应是k=1或-1.

启示：解题时若“数”有余而“形”不足，未能对图形的变化情况进行全面的分析，常使解法不够全面，容易产生増解、漏解或重解.

误区三：强行“结合”果难料

例3 设a>0，且a≠1，试求方程loga（x-ak）-12loga（x2-a2）=0有解时k的取值范围.

图 3分析及解 本题很多参考资料都将它作为一条经典数形结合的题目来解决：

原方程等价于x-ak=x2-a2（其中x-ak>0，x2-a2>0）.

即等价于直线y=x-ak在x轴上方的部分与双曲线x2a2-y2a2=1在x轴上方的部分这两个函数图像有交点，由图3可得：

-a<-ak<0或-ak>a.∴0

以上解法虽然无误，但作图要求颇高，还要注意其渐近线方程的斜率，使用“数形结合”并不简洁，学生不易得到正确答案.

实际上，原方程即为： （x-ak）2=x2-a2x-ak>0x2-a2>0∴x=a+ak22k>ak，∴0

启示：用“数形结合”思想指导解题，应该达到简洁明快的效果.如果达不到这种效果，甚至造成解法更为烦琐，不问解题是否需要，强行结合搞形式主义，那就无异于画蛇添足，失去了“数形结合”的意义.

形是数的翅膀，数是形的灵魂.“数形结合”贵在结合，我们要充分发挥两者的优势，既要关注“形”的直观性，又要关注“数”的准确性，莫入“数形结合”的误区，将“形助数”与“数定形”充分结合，做到真正的数形结合，从而简化问题的求解.