构造辅助函数在不等式证明中的应用

陈红

【摘要】构造法是高等数学中常用的分析技巧，尤其在不等式的证明中起到很重要的作用，本文通过分析，并且应用实例来说明构造辅助函数在不等式证明中的应用.

【关键词】辅助函数；不等式；单调性；中值定理；凹凸性；泰勒公式

不等式的证明没有固定的模式可以套用，它的方法灵活多样，技巧性强，综合性高，其中通过适当的构造辅助函数来证明不等式，可以达到事半功倍的效果.现举例如下：

一、利用单调性证明f（x）>g（x）

要证：在（a，b）内，有f（x）>g（x），需要设辅助函数F（x）=f（x）-g（x）.

例1 设x∈（0，1），证明（1+x）ln2（1+x）

证明 令F（x）=（1+x）ln2（1+x）-x，则有F（0）=0，

则F′x=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x，F′（0）=0，

则F″x=21+xln（1+x）-x，F″（0）=0，

F（x）=-2ln（1+x）（1+x）2<0，x∈（0，1）.

当x∈（0，1）， F″（x）

所以F′（x）<0，从而 F（x）<0，即（1+x）ln2（1+x）

二、利用函数的凹凸性证明f（x）>g（x）

作辅助函数F（x）=f（x）-g（x），具有F（a）=F（b）=0与F″（x）<0，则在区间（a，b）内曲线F（x）开口向下，因此在区间（a，b）内F（x）>0，即f（x）>g（x）.

例2 求证：当0xπ.

证明 令f（x）=sinx2-xπ，则f（0）=f（π）=0，

f′（x）=12cosx2-1π，f″（x）=-14sinx2，

所以f″（x）<0，即曲线f（x）在区间（0，π）内向上凸，即当x∈（0，π）时，f（x）>0.因此sinx2>xπ.

三、用拉格朗日定理证明不等式

要证明同一个函数在两个不同点的函数值满足的不等式，用拉格朗日定理.

例3 设e4e2（b-a）.

证明 F（x）=ln2x在a，b使用拉格朗日中值定理，

存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a，即2lnξξ=ln2b-ln2ab-a.

要证2lnξξ>4e2，利用单调性.

令φ（t）=2lntt，φ′（t）=2-2lntt2=21-lntt2<0，（e

所以φ（t）在（e，e2）内单调递减，于是φ（t）>φ（e2）=2lne2e2=4e2，

即φ（ξ）>4e2，2lnξξ>4e2，

因此ln2b-ln2ab-a>4e2，于是ln2b-ln2a>4e2（b-a）.

四、利用最值证明不等式

要证明在区间a，b上f（x）>g（x），只要构造函数F（x）=f（x）-g（x）证明在区间a，b上的最小值F（x0）≥0.

例4 設f″（x）>0，求证：f（a+h）+f（a-h）≥2f（a）.

证明 设函数F（h）=f（a+h）+f（a-h），

则F′（h）=f′（a+h）-f′（a-h），F″（h）=f″（a+h）+f″（a-h）.

令F′（h）=0，得h=0.因f″（x）>0，则F″（h）>0.

所以Fh向上凸，又因h=0是函数Fh的唯一驻点，也是函数Fh的最小值点，

又F（0）=2f（a），所以F（h）≥F（0），即f（a+h）+f（a-h）≥2f（a）.

五、用泰勒公式证明不等式

当题目涉及函数的二阶以上的导数并给出了同一点的函数值，一阶至二阶导数值时，可用泰勒公式证明有关不等式.

例5 设函数f（x）在区间（a，b）内二阶可导，如果f″（x）<0，

求证：对任意的x1，x2∈（a，b）且x1≠x2，

有fx1+x22>12f（x1）+f（x2）.

（如果f″（x）>0，则fx1+x22<12f（x1）+f（x2））

证明 由泰勒公式得f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（ξ）2（x-x0）2.

（ξ介于x0与x之间）

因f″（x）<0，所以f（x）

取x0=x1+x22，则f（x）

分别将x=x1，x=x2代入上式，得

f（x1）

f（x2）

将上面两式相加，得fx1+x22>12f（x1）+f（x2）.

以上总结了高等数学中构造辅助函数证明不等式常用的几种方法，当然，不等式的题目种类繁多，变化多端，大家在遇到题目的时候，还需要根据具体问题进行具体的分析，按照题目本身的特点来选择，尝试找出最适合最简单的解决方法.

【参考文献】

[1]黄先开，曹显兵.数学真题题型解析（数学二）[M].中国人民大学出版社，2011：72-75.

[2]同济大学应用数学系.高等数学（上册·5版）[M].北京高等教育出版社，2002.