论换元法判断复合函数的单调性

刘国发

【摘要】判断函数的单调性有多种方法.关于复合函数，用“换元”思想，引进新变量，对其进行分解，利用分解后的简单函数的单调性，可较易地判断其单调性.

【关键词】换元法；复合函数；单调性

函数的单调性是讨论函数性质的核心内容.在对函数知识的学习过程中，判断函数的单调性，主要采用三种方法：一是对较简单的函数，直接应用函数单调性的定义（求差法）；二是应用导数的知识，通过对函数的导函数的符号的讨论来判断（求导法）；三是利用复合函数的知识进行判断.本文拟建立“换元”思想，对复合函数引进一个或多个新变量时的单调性的判断方法进行探讨.

1.复合函数单调性判断定理

判断一个复合函数在某区间上的单调性或求出一个复合函数的单调区间主要根据如下定理：

若u=φ（x）在M上有定义，u∈N，y=f（u）在N上有定义，则

（1）如果u=φ（x）在M上单调递增，y=f（u）在N上单调递增，则y=f[φ（x）]在M上单调递增；

（2）如果u=φ（x）在M上单调递减，y=f（u）在N上单调递减，则y=f[φ（x）]在M上单调递减；

（3）如果u=φ（x）在M上单调递增，y=f（u）在N上单调递减，则y=f[φ（x）]在M上单调递减；

（4）如果u=φ（x）在M上单调递减，y=f（u）在N上单调递增，则y=f[φ（x）]在M上单调递减.

证明：（1）任取x1，x2∈M，∵u=φ（x）在M上单调递增φ（x1）<φ（x2），又∵y=f（u）在N上单调递增f[φ（x1）]

由x1，x2的任意性知，y=f[φ（x）]在M上单调递增.

从上表可看出，外层函数y=f（u）、内层函数u=φ（x）、复合函数y=f[φ（x）]之间的增减性呈现出相互依存的内在规律性：若其中任意两个函数的单调性相同，则第三个函数为增函数；若其中任意两个函数的单调性相异，则第三个函数为减函数.此规律可简要地概括为“同增异减”.

2.定理的应用

根据复合函数单调性的判断定理，对于一个复合函数y=f（x），引进中间变量u，通过换元法将其化为简单函数的复合，且当所选择的数学代换式x=φ（u）及y关于u的函数y=f（u）的单调性较易判断时，即可知道函数y=f（x）的单调性.

例1 讨论函数y=2x+1-x+1的单调性.

解 由1-x≥0知，函数y的定义域为：x∈（-∞，1].

作代换：1-x=u，（u≥0），则

x=1-u2，当u≥0时，x=1-u2为减函数.

此时，y=2（1-u2）+u+1=-2u-142+258.

（1）当0≤u≤14时，y=-2u-142+258是增函数，

此时，0≤1-x≤116，即1516≤x≤1.

所以，当1516≤x≤1时，函数y=2x+1-x+1是减函数.

（2）当u≥14时，y=-2u-142+258是减函数，

此时，1-x≥116，即x≤1516.

所以，当x≤1516时，函数y=2x+1-x+1是增函数.

由（1）、（2）知，函数y=2x+1-x+1的单调增加区间是x∈（-∞，1516]，单调减少区间是1516，1.

根据复合函数单调性的判断定理判断函数的单调性，其具体步骤可归纳为：

（1）确定函数y=f（x）的定义域，恰当选择代换式x=φ（u），确定u的取值范围，并判断x=φ（u）的单调性；

（2）用代换式x=φ（u）将函数y=f（x）进行换元，判断换元后的函数y=f（u）的单调性，并根据y=f（u）关于u的单调区间确定x的取值范围；

（3）根据x=φ（u），y=f（u）的单调性的异同，判断y=f（x）的單调性.

【参考文献】

[1]杜晓梅.关于复合函数相关概念的剖析[J].济南职业学院学报，2013，5.

[2]卢翼飞.试论复合函数单调性的判断方法[J].中国校外教育（理论），2008（3）.