高中数学概念教学现状与优化策略

丁正燕

【摘要】数学概念是数学思维的细胞，是学生学习数学知识的基石，也是学生进行数学思维的逻辑起点，是高中数学基础知识的核心.但是重解题、轻概念，重结论、轻过程，重讲授、轻探索的现象比较普遍，从而导致学生对数学概念的理解和掌握效果大打折扣.因此，对高中数学概念教学的优化，以求共同推进课程改革的深入.

【关键词】数学概念；概念数学；优化策略

新一轮课程改革的核心理念强调“重视科学教育，全面提高学生的科学素养”.科学概念是组成科学知识的基本单元，也是科学素养的基本构成要素，对数学核心概念的正确表征是衡量科学素养的一个重要维度.数学概念是数学思维的细胞，是学生学习数学知识的基石，也是学生进行数学思维的逻辑起点，是高中数学基础知识的核心.因此，数学概念教学，是数学教学成功与否的一个重要标志，也应该成为老师教学的着眼点和落脚点.

一、高中数学概念教学现状

1.重解题，轻概念

一方面受应试教育的影响，许多教师仍然存在“重解题技巧教学，轻数学概念教学”的倾向，有的教师还刻意追求“概念教学的最小化和习题教学的最大化”；另一方面受课时安排及教学进度的影响.这样的结果导致学生在没能正确理解数学概念，无法形成能力的情况下匆忙去解题，使得学生只会模仿老师解决某些典型的题型和掌握某类特定的解法，一旦遇到新的背景、新的题目就束手无策，甚至导致教师和学生为了提高成绩陷入无底的题海之中.

2.重结论，轻过程

有的教师为完成教学任务，在概念的教学过程中往往把数学概念看作一个名词，对概念作解释，只重视对概念的记忆，而忽视概念的引入和形成过程.在引入概念时没有留给学生足够的空间让学生经历概念的产生、探究过程，没有真正理解和揭示概念的本质，这样很难体会其中所蕴含的数学思想方法和它们在后续学习中的作用，致使学生创造力低，缺乏可持续发展的后勁.

3.重讲授，轻探索

由于数学概念的单调、枯燥，教师不敢放手让学生自主探索，而是强行地将一些新的数学概念灌输给学生，仅注重教师教的过程，忽视学生学的过程，也没能通过大量实例分析揭露概念的本质，这样不能体现学生的学习主体性，严重影响了学生正确数学观念的形成，阻碍了学生的能力发展.

二、数学概念教学的有效策略

有效教学指教师遵循教学活动的客观规律，以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能多的教学效果，从而实现教学目标，满足社会和个人的教育价值需求.它是一个动态发展的概念，其内涵一直随着教学价值观、教学理论基础以及教学方法变化而不断扩展、变化.本文结合教学实践介绍概念教学的几种策略.

1.创设生活情境，感知数学概念

概念的引出是进行概念教学的第一步，这一步走得如何，将影响学生对数学概念的学习.因此，在概念教学中，教师不应只简单地给出概念，而应加强对概念的引出，加深对新概念的印象，创设情境是解决这一问题的最好方法.

案例1 在“算法语句”教学时的教学片片：

师：编一个程序，交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值.

生1：输入A，输入B，然后A=B，B=A.

师：这样做行吗？大家再想想这样真的交换了A与B的值吗？

生2：不可以，这样输出的都是B或A的值.

师：这个问题就如同日常生活中的两瓶红、黑墨水，你想交换两者，可不可以直接把黑的倒到红的瓶里，再倒回来？

图 1生2：不对，应先把其中一瓶倒入一个空瓶，再交换.

师：也就是说要借助空瓶才可实现交换，所以这里应

该引进一个变量T.首先把红墨水倒入空瓶T中，再把黑

墨水倒入原先装有红墨水的瓶中，最后把空瓶T中的红墨

水倒入原先装有黑墨水的瓶中（如图1所示，在黑板上画

出图1）.上述A与B的交换问题该如何抽象为数学符号

语言？

生众：T=A，A=B，B=T.（学生齐声说出了答案）

在教学片段中，教师从学生的生活经验和已有的认知水平出发，借助生活中倒墨水的情境自然引导学生引入变量T，实现了从经验性概念转变到理论性概念的过程.因此，教学情境的创设应处于学生思维水平的“最近发展区”，与学生已有的数学认知发展水平相适应，这样可以帮助学生有意义建构数学概念，也可提高学生的学习效率.

2.加强例证分析，类比数学概念

概念的形成，需要从大量典型、丰富的具体例子出发，学生经过自己的实践活动，去伪存真，从中分析、类比、猜想、联想、归纳、概括出一类相同事例的共同本质特征，从而理解和掌握概念.

案例2 在“分类计数原理与分步计数原理”教学时的教学片段：

问题1：书架有三层，上面一层放6本不同的数学书，中间一层放5本不同的语文书，下面一层放3本不同的外语书.从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

问题2：书架有三层，上面一层放6本不同的数学书，中间一层放5本不同的语文书，下面一层放3本不同的外语书.从书架上取数学书、语文书和外语书各1本，有多少种不同的取法？

师：以问题1和问题2为例说明解决问题的方式有哪些不同？

生1：这两个问题相同之处都是取书问题，但是取书的方式是不同的.

（他的回答引来同学们一阵笑声，认为他没说到点子上）

生2：在问题1中，只要在数学书、语文书和外语书这三类书中任取1本就可以了；而问题2却不同，它需要每一类书中都要取出1本才行.

生3：问题1中的取书是分类做的，而问题2中的取书是分步做的.

生4：这两个问题的最大区别就是，在问题1的三类方法中，每一类方法中的任何一种取法都可以将工作做完；而在问题2的三个步骤中，缺少任何一个步骤都不能将工作做完.

师：同学们说得很好！请同学们再谈一谈，这两类问题中的方法种数是怎么计算出来的？

生5：问题1用的是“加法”，而问题2用的是“乘法”.

生6：如果完成工作是分类进行的，那么就把每一类中的方法种数加起来；如果完成的工作是分步进行的，就把每一步中的方法种数乘起来，作为完成这项工作的种数.

师：通过对问题1和问题2的讨论，我们发现：完成一件事可以有两种方式，一种是分类去做，一种是分步去做.一般地，我们有（提出两个计数原理）：

（1）分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

（2）分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1×m2×…×mn种不同的方法.

在教学片段中，两个计数原理不是由教师直接给出的，而是在教师引导下，学生自己通过观察、比较、概括、抽象等思维活动，逐步概括得到的.这一过程与前人形成这个概念所经历的过程有某种一致性.这样进行概念教学不仅能使学生深刻理解概念，而且也能更好地培养思维能力.

3.创设自主探究，建构数学概念

建构主义的教学理论指出，概念教学重点并不在于概念本身，而在于建构概念的整个过程，更在于学生本人的思维构造.教师作为概念教学过程的引导者，要恰当地搭建探究平台，使学生通过主体探究，在新知识与各种知识建立联系的过程中获得新知，同时获得成功的心理体验，从而自主建构数学新概念.

案例3 在“二项式定理”教学时的教学片段：

师：牛顿究竟是如何发現二项式定理的？1664年冬，22岁的牛顿在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，引发了许多思考……

（1）（a+b）2=？ （a+b）3=？ （a+b）4=？

一般情形下，当n∈N*时，（a+b）n等于多少？不妨从（a+b）4入手，（a+b）4就是四个（a+b）相乘，（a+b）4=（a+b）（a+b）（a +b）（a+b） =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

（2）引导学生观察（a+b）2，（a+b）3的展开式，发现规律.

问题：请你观察（a+b）2的展开式并思考：①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？

（3）引导学生探索（a+b）4的展开式的项和系数的规律.

问题：①展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数是多少？

（启发学生用多项式乘法法则和两个计数原理和组合的知识分别解决这个问题）

（4）类比猜想，对二项式定理形成初步认识.

问题：你能将（a+b）3的展开式直接写成类似的形式吗？

（5）归纳猜想，进一步认识二项式定理.

问题：你能猜想（a+b）n的展开式吗？

（6）引导学生发现一般项.（暂不称通项）

提问：展开式中的哪一项具有一般性？

否则提问：展开式中的每一项a，b的指数各不相同，你能用一个式子表示它们吗？

（7）证明二项式定理.

说清楚两点即可：①展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数是多少？

（8）提出“二项式定理”的概念.

在教学片段中，教师为学生创设自主探索的教学环节，充分发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导和启发下的“再创造”过程，同时加深对数学概念的认识和理解，使学生学会用数学思维方式思考问题，进一步培养和提高学生的探究能力和创造能力.

4.运用先行组织者，同化数学概念

概念的同化是指学习者知识的习得和建构，主要依赖认知结构中原有的适当观念，去影响和促进新的理解、掌握，沟通新、旧知识的互相联系，形成新的认知结构系统.美国著名教育心理学家奥苏贝尔倡导的有意义学习必须以学习者原有认知结构为基础，为促成有意义学习，他提出了“先行组织者”教学策略.其核心思想是在学生学习新知识前呈现给他们一些引导性材料，这些引导性材料与所学新知识之间能够建立实质性联系.其主要目的是在学生“已经知晓”的与“需要知晓”的知识之间架设桥梁.

案例4 在“对数”教学时的教学片段：

由于对数是借助于指数式ab=N（a >0，且a≠1）来定义的，因此，在学习对数概念之前，应系统复习指数知识.可以说，指数知识是学习对数概念的第一个“引导性材料”.

为减少学生对logaN进行工作记忆的负荷，可以在学习对数概念之前，说明符号log是一个整体，不能分开去看，并介绍logaN的读法.可以说，对符号log的提前说明是学习对数概念的第二个“引导性材料”.

提出问题1：已知2b =5，求b=？可以直接给学生讲，这个b用以前学过的知识是无法求出来的.苏格兰数学家约翰·纳皮尔为解决这类问题，花了十多年时间，发明了“对数”.纳皮尔定义，b叫作由2和5确定的“对数”，简称b叫“对数”.这种类似于科普的讲解，可作为学习对数概念的第三个“引导性材料”.

提出问题2：已知3t =7，按照纳皮尔定义，在3， 7，t中哪个叫“对数”？这个问题，可作为学习对数概念的第四个“引导性材料”.问题2是问题1的一个变式，主要目的是让学生认准对数在指数式中的位置，为进一步的抽象概括做铺垫.

通过上述四个“引导性材料”，运用“先行组织者”教学策略，学生在正式学习对数时就有了一些感性认识，并建立有意义的学习心向，学生对对数概念的理性认识就有望实现了.

5.设计应用实例，内化数学概念

李邦河院士曾说过，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”.数学概念形成之后，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固与内化，以及解题能力的形成和数学思维的培养.

案例5 在“向量坐标”教学时的教学片段：

师：已知ABCD的三个顶点的坐标A（3，5），B（4，6），C（2，1），试求第四个顶点D的坐标.

生1：易得AC中点的坐标52， 3，BD中点的坐标x+42，y+62，

因为平行四边形的对角线互相平分，所以x+42=52，y+62=3.所以x=1，y=0.

生2：因为A（3，5），B（4，6），所以AB→=（1， 1）.设D（x，y），所以DC→=（2-x， 1-y）.因为AB→=DC→，所以2-x=11-y=1，所以x=1y=0.

典型实例既是对数学概念的解释，也是良好的形象补充，学生对典型实例的深层挖掘来加深对所学概念的理解和内化，从而巩固数学概念和更新内在知识结构.

6.运用几何动画，形成数学概念

美国心理学家布鲁纳认为：在学校教育教学中，所有教学计划在很大程度上将依赖于为达到教学目标而采用的教学媒体.多媒体教学具有图文声并茂的优势，在新概念的教学中，可以运用几何画板来展现新概念形成的过程，使学生保持浓厚的学习兴趣，让学生能够很好地理解和掌握新概念，从而确保课堂教学的高效.

案例6 在“抛物线概念”教学时的教学片段：

（1）活動：折纸.（图2）在纸片2厘米处设置点如图2方法将纸折20～30次形成一系列折痕，它们整体地勾画出一条曲线的轮廓.

（2）观察、猜想：众多折痕围出一条抛物线.

（3）建立坐标系，画图，发现与y=14x2很接近.

（4）几何画板动态演示折纸过程及抛物线.

（5）活动（图3）：画3条平行于y轴的直线，折纸，发现1：其反射线经过y轴上一定点.

（6）几何画板演示这一过程（证明可以学生课后完成）.

（7）概念形成：焦点（一组平行于y轴的直线经抛物线反射后汇聚到焦点，由焦点出发的直线经抛物线反射后成一组平行线）.

（8）发现2：抛物线上的点到焦点的距离等于到纸边的距离，定义准线.

（9）形成概念：（学生概括，教师补充）平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线L叫作抛物线的准线.

从教学片段中可以看到，在不知不觉中，每名学生都参与了教学过程，通过学生的动手操作和教师的动画演示，学生的积极性空前高涨，同时也很好地实现了教学目标.

高中数学教学中最为重要的一环为概念教学，概念是整个高中数学体系的枢纽，教学中一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”.数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握书本知识，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力.所以，在教学中教师根据学生的认知规律与课标要求，采取适当的教学策略，优化概念教学，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和数学概念的本质，从而提高数学素养.