“和尚与馒头”问题的解法探讨

孙迪淼

【摘要】 大约1500年前，中国古代数学名著《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题是一个有趣而引人思考的问题. 对于这个问题的解决也有一般的方法，但对于该问题的姊妹变形，也会出现若干较为巧妙的解法，希望能与同仁一同探讨.

【关键词】 “鸡兔同笼”问题；数学教学；发散思维

人教版义务教育教材《数学》五年级上册“数学广角——鸡兔同笼问题”中，出现了“和尚与馒头”问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争. 小僧三人分一个，大小和尚得几丁？下面将探讨在教学实践中产生的几种解法.

根据常规思路，既然可以全看成大僧来解决，那也可以全看成小僧来解决，由此不难得到解法二.

解法二思路与解法一思路基本一致，这两种解法是完全按照“鸡兔同笼”问题解法的一般套路思考的. 但遗憾的是作为小学五年级上册的一个问题，在此之前学生并没有学过分数的基本运算，因此以上两种解法显然还没有达到要求. 此时，考虑另起炉灶，还是继续深究？但上面的解法思路清晰，过程又合乎情理，就此放弃难免不太甘心. 静心一想，主要矛盾出在分数上面，此时若能将分数问题转化成整数问题来考虑，解题过程便非常明了. 而那一刻，解法三已经心中有数.

解法三：100 × 9 = 900（个），900 - 300 = 600（个），小和尚：600 ÷ （9 - 1） = 75（人），大和尚：100 - 75 = 25（人）.

解题思路：分数问题要转化成整数问题，其实只要突破“小僧三人分一个”即可. 由此，笔者对原题进行了巧妙的改编：“三百馒头一百僧，大僧九个更无争. 小僧一人分一个，大小和尚得几丁？”谈及这一改编的灵感，还是从等式的基本性质中获取的. 而这样一来，这个问题的处理就与解法一大同小异，但又避开了分数问题. 于是，解法四其实也已了然于胸.

解法四：100 × 1 = 100（个），300 - 100 = 200（个），大和尚：200 ÷ （9 - 1） = 25（人），小和尚：100 - 25 = 75（人）.

想到解法三与四，笔者非常开心，以为这样的解法已经达到了一定的高峰，以为这样的解法五年级的学生会容易接受. 但在实际授课中，班级中仍只有少数学生可以理解，看来是高估他们了！课后想想也的确有些为难他们了，对题目进行改编来解题，对五年级学生来说是从来都未曾触及的领域！正在为这个问题发愁的时候，一个文静的男孩带着疑惑的眼神向我递了一张纸，上面写着他的解题过程，我一看答案就欣喜了，答案完全吻合！更令人惊讶的是整个解题过程只有两个步骤！但他的数学成绩在班级中也的确只是一般水平！我点了点头，想听他讲讲思路，他只是摇摇头，表示连他自己也不知道是怎么做出来的，他也仅仅是想来我处探个究竟. 于是，我看着他的解法，满足地竖起了大拇指.

解法五：大和尚：100 ÷ （3 + 1） = 25（人），小和尚100 - 25 = 75（人）.

解题思路：大和尚每人吃三个馒头，小和尚每三人吃一个馒头，若把一个大和尚与三个小和尚分成一组，这样每组吃（3 + 1）个馒头，共可分成25组，利用捆绑（组合）的方法，得到大小和尚人数.

后来，笔者将这种方法在班级中讲授，大部分学生都能理解了，看来一种好的解题方法往往能达到师生共鸣.

除了以上五种解法外，考虑到本册书中已经涉及方程，不妨也给学生介绍用方程思想来解决本题，虽然其设未知数的过程以及求解方程的过程难度非常之大，但总体上说，给他们介绍这种方法还是可行的，这样也让他们能够选择更为合适的方法去解题.

解法六：第一步，设小和尚有3x人，则大和尚有（100 - 3x）人. 第二步，根据题意列出方程：x + （100 - 3x） × 3 = 100. 第三步，解得x = 25.

解题思路：用方程来解决，设未知数的过程很重要，此处设小和尚人数为3x，目的还是为了避开分数，而这一步对于五年级学生而言难度依旧很大，而对于这个方程的求解过程也并不简单，若是对于初中学生那还可以采取二元一次方程组来解决.

追溯该问题，考虑到其数据较小，解法七“试错法”也是一种较好的方法，通过“试错”，可以轻易求得大小和尚人数.

教学中，笔者经常遇到不少学生过来刁难，但极少次他们可以得意离开，没想到偶尔给他们尝点甜头竟愈加激起他们提问的热潮，这种场面为师者想必都深有体会. 一直以来，笔者认为数学乃至理科的解题教学都应该遵循以下三个方面：多听听学生的方法，多完善学生的方法，多提升学生的方法. 如果因为繁杂的教学琐事而丢弃了这些根本的东西，实在是不大值得.

最后，我想假如我们能够始终站在学生的角度去思考、解决问题，学生便能更加深入地理解并接受教师对题目的剖析. 虽然，这对教师自我来说是一个挑战，但这却是一件受益匪浅的事情，其影响将在教学实践中长期存在.

【参考文献】

[1]义务教育数学课程标准修订组.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.

[2]卢江，杨刚.义务教育教科书数学（五年级下）.人民教育出版社，2013.