奇素数为什么不可穷尽从对欧几里得的证明的质疑说起

【摘要】本文以“引子”引出欧几里得证明的疑点，指出欧氏证明原理不能对“再假设”证明进行下去，对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象不能作出科学解答；以素数中三个不可理解性问题为切入点，找到了素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象的根本原因，应用素数的有效排除力原理对“为什么偶素数可穷尽”“为什么个位数为5的奇素数可穷尽”“为什么个位数为1，3，7，9的奇素数不可穷尽”诸问题作出了证明；对欧氏证明的疑点及其原因进行了解读、分析.

【关键词】欧几里得；素数；可穷尽；不可穷尽；质疑；证明点

一、引子——钝夫的质疑

这天，数学教授聪生与数学研究兴趣者钝夫一起讨论素数没有穷尽问题.钝夫请教说：“假设第48个梅森素数为最后一个素数，即素数至此已穷尽.那你肯定不会认同.但不知你如何来证明我的观点是错的.”聪教授笑着说：“早在公元300年前古希腊数学家欧几里得就已证明了素数没有穷尽问题.依照欧氏定理和你给出的假设，证明式子是‘k=2×3×5×…×第48个梅森素数+1，k要么是素数，要么是多个素因数相乘的积，k或其素因数都必定是‘集合之外的更大素数，即是比第48个梅森素数还要大的‘更大素数.因此，第48个梅森素数之后素数没有穷尽.所以，你的观点是错的.”钝夫又诚恳地说：“聪教授，你刚才的证明也许是对的.我深信根据欧氏公式完全可求得比第48个梅森素数还要大的‘更大素数.现我再假设，假设素数至这个‘更大素数已穷尽.毫无疑问，这个‘更大素数不是续接第48个梅森素数之后的下一个素数，也即是说，第48个梅森素数至这个‘更大素数之间必定存在未知的若干个素数.据此，你如何将第48个梅森素数至这个‘更大素数之间的若干素数，按照‘从小到大依次排列呢？假如你不能做到‘从小到大依次排列，那你如何使证明进行下去呢？假如证明不能进行下去，又怎能说对素数没有穷尽问题作出证明了呢？”钝夫一连串推理式的连珠炮般的发问，使聪教授完全无言以对.接着，钝夫将自己的质疑及其因由细说了一遍.之后，一本正经地说：“欧氏证明疑点多多，主要疑点在于：其一，素数没有穷尽主要体现在素数随着自然数的不断扩延而不断扩延，‘更大素数之后还有比之更大的‘更、更大素数.如以求得‘集合之外的‘更大素数的证明方法来证明素数没有穷尽问题，其证明方法不仅仅在于求得‘集合之外的‘更大素数，同时还有一个续接证明下去的问题，即以第一次假设求得的‘更大素数为依据提出再假设时，使再假设的证明进行下去.但是，由于欧氏公式所求得的素数只是‘更大素数，而不是续接‘Pn素数之后的下一个素数，违背了其自身设置的‘从小到大依次排列这一条件，因此，欧氏证明在求得‘集合之外的‘更大素数之后，不能对以第一次假设求得的‘更大素数为依据而提出的再假设的证明进行下去.可见，欧几里得的证明，对素数没有穷尽问题并没作出科学证明.其二，事实告诉我们，在没有穷尽的素数中，偶素数于3起已穷尽，而没有穷尽的是奇素数；在没有穷尽的奇素数中，个位数为5的奇素数于6起已穷尽，而没有穷尽的是个位数为1，3，7，9的奇素数.据此，可以说对素数没有穷尽问题的证明，应当包括对‘为什么偶素数于3起可穷尽‘为什么个位数为5的奇素数于6起可穷尽‘为什么个位数为1，3，7，9的奇素数不可穷尽诸问题的证明.不是单一的‘没有穷尽问题的证明.其正确的证明方法，不仅可用于‘不可穷尽问题的证明，而且也可用于‘可穷尽问题的证明.然而，欧氏的证明方法除了可求得‘集合之外的‘更大素数外，不能对素数中‘可穷尽和‘不可穷尽问题作出科学的、正确的解答.仅凭此两点质疑就可得出结论：欧氏证明只能是求得‘集合之外的‘更大素数的一种证明方法，对素数没有穷尽问题并没作出科学证明.”最后，钝夫十分自信而自豪地说：“鄙人之所以敢于对欧几里得的证明提出质疑，是因为我找到了素数中‘可穷尽和‘不可穷尽现象的根本原因，发现了其破解的证明方法.”

二、素数没有穷尽问题的内涵及其证明点

不隐瞒地说，“引子”中的钝夫就是笔者.笔者之所以敢于提出质疑，是在于发现了欧几里得没有真正读懂素数没有穷尽问题的内涵，弄错了素数没有穷尽问题的证明点.

笔者认为，要对素数没有穷尽问题作出正确的证明，首先要弄清楚素数没有穷尽问题的完整内涵和单一内涵，在此基础上，找准其证明点，即：对素数没有穷尽问题要作出证明的，是求证素数“集合”之外的“更大素数”，还是对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象作出科学解答？

1.素数没有穷尽问题的完整内涵和单一内涵

所谓“素数没有穷尽问题的完整内涵”，是指素数中各种“可穷尽”“不可穷尽”现象所反映出来的若干问题.

所谓“素数没有穷尽问题的单一内涵”，是指“完整内涵”中具体的、与之最直接的某个问题.

根据素数中“可穷尽”和“不可穷尽”现象，笔者认为，素数没有穷尽问题的完整内涵应包括“素数为什么不可穷尽”“偶素数为什么于3起已穷尽”“奇素数为什么不可穷尽”“个位数为5的奇素数为什么于6起已穷尽”“个位数为1，3，7，9的奇素数为什么不可穷尽”此五个问题；而素数没有穷尽问题的单一内涵，具体是指“个位数为1，3，7，9的奇素数为什么不可穷尽”之问题.

2.素数没有穷尽问题的证明点

笔者认为，不论是从素数没有穷尽问题的完整内涵来看，还是从素数没有穷尽问题的单一内涵来看，素数没有穷尽问题的证明点都不应是求证素数“集合”之外的“更大素数”.而事实也证明这一点.

事实1“没有穷尽”外延的证明

為使人们真正读懂素数没有穷尽问题的证明点不是求证素数“集合”之外的“更大素数”，笔者将欧氏证明原理的应用延伸到对其他数没有穷尽的证明.我们知道，在自然数这个家族中，自然数、偶数、奇数是没有穷尽的.如果说，素数没有穷尽的证明，就是求得“集合”之外的“更大素数”，那么，对自然数、偶数、奇数没有穷尽的证明，同样是求得“集合”之外的该类“更大数”.现依照欧氏证明原理作出证明.

例1对自然数没有穷尽的证明.

设有限个自然数为n，那么，依照欧氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn

式中“P1，P2，P3，…，Pn”为自然数从小到大依次排列.K必定是多个自然数相乘之积.K或K的因数必定是“集合”之外的更大自然数.因此，自然数没有穷尽.此证.

例2对偶数没有穷尽的证明.

设有限个偶数为n，那么，依照欧氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn.

式中“P1，P2，P3，…，Pn”为偶数从小到大依次排列.多个偶数相乘之积必定是偶数.因此，K必定是“集合”之外的更大偶数.所以，偶数没有穷尽.此证.

例3对奇数没有穷尽的证明.

设有限个奇数为n，那么，依照欧氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn.

式中“P1，P2，P3，…，Pn”为奇数从小到大依次排列.多个奇数相乘之积必定是奇数.因此，K必定是“集合”之外的更大奇数.所以，奇数没有穷尽.此证.

显然，以上諸例证明苍白无力，难以令人信服.

本来，事实已清楚地告诉我们，自然数没有穷尽是在于更大自然数之后还有比之更大的自然数，永远只有更大自然数，没有最后的最大自然数；偶数没有穷尽是在于更大偶数之后还有比之更大的偶数，永远只有更大偶数，没有最后的最大偶数；奇数没有穷尽是在于更大奇数之后还有比之更大的奇数，永远只有更大奇数，没有最后的最大奇数；素数没有穷尽是在于更大素数之后还有比之更大的素数，永远只有更大素数，没有最后的最大素数.既然事实已告诉我们这样一个结果，那么，以求得“集合”之外的该类“更大数”来证明该类数没有穷尽问题，这是不是显得没有多大实际意义呢？！

事实2素数没有穷尽现象的证明

现依照欧氏证明原理分别对奇素数以及四支个位数不同的奇素数没有穷尽问题予以证明，看其结果将会如何.

例1对奇素数没有穷尽的证明.

设有限个奇素数为n，那么，依照欧氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn+2.

式中“P1，P2，P3，…，Pn”为奇素数从小到大依次排列.K必定是多个奇素数相乘之积.K或K的素因数必定是“集合”之外的更大奇素数.因此，奇素数没有穷尽.此证.

尽管在提法上“奇素数没有穷尽”比“素数没有穷尽”更为准确，我想，恐怕数学界的老师们不会认同笔者的证明吧.

例2对四支个位数不同的奇素数没有穷尽问题的证明.

先推测个位数为1的素数没有穷尽问题的证明结果.如将n个个位数为1的素数“从小到大依次排列”集于“合”子相乘再加1个其他正整数，可推知，n个个位数为1的素数，其积的个位数必定是1，唯有加上大于1、个位数为0的正整数，其K的个位数方为1，但K的素因数的个位数就未必是1.

再推测个位数为3，7，9的素数没有穷尽问题的证明结果.可推知，n个个位数为3的素数相乘，其积的个位数是循着“9，7，1，3”次序变化的；n个个位数为7的素数相乘，其积的个位数是循着“9，3，1，7”次序变化的；n个个位数为9的素数相乘，其积的个位数是循着“1，9，1，9”次序变化的.由此可知，n个个位数为3，7，9的奇数相乘，其积加任何1个正整数，其K的个位数都是有变化的，其K的素因数的个位数同样是有变化的.

可见，依照欧氏证明原理分别对个位数为1，3，7，9的奇素数没有穷尽问题作出证明，不可能找到正确答案.从而证明欧几里得对素数没有穷尽问题不能作出科学证明.

事实3对素数中“可穷尽”现象分析的答案

近年科学研究表明，一些动物走向灭绝，不是这些动物繁衍能力出现了问题，而是人类大量捕杀所致，亦即人类对这些动物的捕杀量大于这些动物的繁衍生存量.笔者由此联想到素数没有穷尽问题.自然数的不断扩延好比动物繁衍，被排除出去的自然数（即是合数的自然数，下同）的量好比人类对动物的捕杀量.很显然，假如排除出去的自然数的量大于或等于自然数的扩延量，那么，素数必定穷尽，唯有在排除出去的自然数的量小于自然数的扩延量的条件下，素数才有可能没有穷尽.而事实也正是如此.

经分析，偶素数之所以于3起已穷尽，是因为所有大于2的偶数均为合数而全部被清除出素数之外；同理，个位数为5的奇素数之所以于6起已穷尽，是因为所有大于6的个位数为5的奇数均为合数而全部被清除出素数之外.即是说，两者的被排除的量等于扩延的量.

由此可推知，素数没有穷尽与一种排除力有着密切联系.由此可见，素数没有穷尽问题的证明点，并不是寻求“素数集合”之外的“更大素数”的证明，而是寻求对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象作出正确解答的证明，也就是求证将合数排除出素数之外的这种排除力的证明.笔者正是以此作为破解的关键点，以素数中三种不可理解现象为切入点，从中发现素数中“可穷尽”和“不可穷尽”现象的根本原因，找到正确的证明方法.

三、素数中“可穷尽”和“不可穷尽”现象的根本原因及破解思路

1.破题的切入点——素数中三个不可理解现象

不可理解1如将素数排除的量记为n[]P，那么，按照“n[]P1+n[]P2+n[]P3+…+n[]Pm”等式计算，素数于自然数30起就应穷尽.因为，30[]2+30[]3+30[]5>30.可事实告诉我们，素数不但没能于30起穷尽，甚至于3000030000之后都不可能穷尽.这是为什么？

不可理解21个偶素数2可做到将大于2的偶数全部有效排除出素数之外，使偶素数于3起已穷尽，而无数多个奇素数却没能做到将某个高位奇数起的奇数全部有效排除出素数之外，使奇素数于此穷尽，进而使素数也随之穷尽.这是为什么？

不可理解33和5两奇素数可做到将大于5、个位数为5的奇数全部有效排除出素数之外，使个位数为5的奇素数于6起已穷尽，而7起的奇素数不仅不能做到将个位数为1，3，7，9的奇数于某高位数起全部有效排除出素数之外，使之穷尽，甚至不能做到将个位数为1，3，7，9其中之一的奇数于某高位数起全部有效排除出素数之外，使之穷尽.这是为什么？

笔者认为，分析此三种不可理解现象，从中找出其根本原因，这正是破题的切入点.

2.关于除数的分类

笔者研究结果表明，上述三种不可理解现象，与除数的有效排除作用有着密切联系.这里说的除数，是指自然数中合数的约数（也叫因子）.从数学除法算式来说，合数的约数即是除数.合数之所以是非素数，是因为可被它的约数（即除数）整除而排除出素数之外.而这“除数”既有合数，也有素数.那么，真正起到排除作用的究竟是合数还是素数呢？（换言之，谁才是“第一刀”将合数“捅死毙命”的“真正凶手”呢？）这是必须弄清楚的问题.现举例分析.

以合数60为例，除1和60外，其可被2，3，4，5，6，10，12，15，20，30共10个数整除.在此10个除数中，2是将60排除出素数的第一位除数，才是起到有效排除作用的除数，3与5是于2之后将60重复排除出素数的除数，为重复排除的除数，而4，6，10，12，15，20，30此7个除数，虽对60可以整除，由于其本身也是可被2，3，5整除的合数，因此，就将60排除出素数这点来说，实际上它们起到的是“零作用”，故为无关排除的除数.笔者根据除数所起到的作用之不同，将除数分为三类：

之一，“有效排除的除数”，是指将某个自然数排除出素数之外的除数中依序排在首位的非合数除数.

之二，“重复排除的除数”，是依序排在首位除数之后的非合数除数.

之三，“无关排除的除数”，是指除数中的合数.

可见，在将合数排除出素数之外中真正起到有效排除作用的是素数，而且是排在前面的第一个素数.笔者将此称之为“素数的有效排除作用”.事实证明，素数之所以不可穷尽，其原因是在于素数将合数排除出素数之外的过程中，并非是全部为真正意义上的有效排除，这当中还存在重复排除和无关排除.正是重复排除和无关排除的存在，使得素数有着不可穷尽的空间.

3.素数的有效排除线及其作用意义

定义1素数是指不能被小于等于该自然数平方根的素数整除的自然数.这是笔者根据对素数的研究成果而下的定义.

筆者根据素数产生条件之不同，将素数分为“原生素数”和“新生素数”两部分.2与3称之为“原生素数”或“自然素数”.因为，2，3这两个数的平方根处于大于1小于2之间，不存在经能否被其他素数整除这个验证环节，是原本天生的素数.依序排在2，3之后的素数称之为“新生素数”或“非原生素数”.因为，它们均要经能否被2，3以及其他素数整除这个验证环节，相对于2，3来说，是属于新产生的素数.

定义2素数的有效排除线是指一个素数作为除数，将被其整除的自然数有效排除出素数之外的起点线，亦是一个素数起到有效排除作用的起始自然数.

为精简文字，本文将“起到有效排除作用的素数”简称为“起效素数”，“扩延范围”简称为“扩围”.

（1）素数的有效排除线

素数将被其整除的合数排除出素数之外可分为有效排除和重复排除，而真正起到有效排除作用的是排在前面的第一个素数.那么，就具体到每一个素数来说，其有效排除线该从哪个自然数算起呢？笔者根据“素数是指不能被小于等于该自然数平方根的素数整除的自然数”这一定义的规则，遵循自然数和素数循序逐增的原理，将素数的平方数定为该素数的有效排除线，即为该素数起到有效排除作用的起始自然数.如素数2，其有效排除线从2的平方数4算起；素数3，其有效排除线从3的平方数9算起；素数5，其有效排除线从5的平方数25算起，其余依此类推.

在此，需说清楚的，一个素数将被其整除的自然数有效排除出素数之外的起点线，虽是从其平方算起，但并非说，有效排除线起可被该素数整除的所有自然数都算作其有效排除，还得看该素数是不是依序排在除数中首位，如是方能算作其有效排除，否则算作其重复排除.如数45，可被素数3，5整除，3是依序排在除数中首位，5是第二位，因此，虽5的有效排除线从25算起，但45被排除出素数之外，不能算作5的有效排除，应算作3的有效排除，算作5的重复排除.

在此，还需说清楚的，偶素数2，因其是首位素数，故其只存在有效排除，不存在重复排除.奇素数3，因其是首位奇素数，故对可被其整除的奇数，只存在有效排除，不存在重复排除，相反，对可被其整除的偶数只存在重复排除，却不存在有效排除.2，3之后的所有新生素数，对可被其整除的自然数，均有有效排除和重复排除之分.

（2）素数的有效排除线的三个重要作用意义

意义1标志着1个起效素数于此线起要发挥有效排除作用

如，4是素数2的有效排除线，那么，表明从数4起，素数2对可被其整除的自然数要进行有效排除；再如，9是素数3的有效排除线，那么，表明从数9起，素数3对可被其整除的奇数要进行有效排除；又如，25是素数5的有效排除线，那么，表明从数25起，素数5对可被其整除、又不能被前素数整除的自然数要进行有效排除.余例不一一详举.

现将各个素数的有效排除线数字连接为自然数扩延线，并在扩延线的有效排除线数字下面相对应标示出起效素数（见图1），可看出：

由素数的有效排除线连

接形成的自然数扩延线[]4→9→25→49→121→169→289→361→…

依序出现的起效素数[]235711131719…

图1

起效素数在量上是随着自然数的不断扩延而循着1个→2个→3个→4个→5个→6个→…的次序逐增.这就是起效素数的循序逐增规律.

意义2对此线前的所剩留的自然数就是新生素数的认定

偶数2是首位素数，其有效排除线是4，而第二个素数3的有效排除线为9，可知在素数3的有效排除线9前的自然数为4至8，经素数2的有效排除后，剩有5，7此两个数，那么，5，7此两个数便是新生素数.再比如，25是5的有效排除线，已知9起至25之前的自然数为9至24，经素数2，3的有效排除后，剩有11，13，17，19，23共5个数，那么，此5个数便是继5，7之后的新生素数.余例略.

事实表明，对于素数的平方数，可以这样说，向前看，它是素数的有效排除线；向后看，它是新生素数认定线.

意义3是合理设置自然数扩延范围及扩延范围单位的重要依据

4.张尔光素数筛法

所谓“张尔光素数筛法”，是指张尔光为求证素数有效排除力而创立的将合数自然数有效排除出素数之外的一种方法.

从图2、图3、图4的证明中，可归纳出张尔光素数筛法有以下特点：

特点1将素数的平方数设定为“素数有效排除线”和“素数确定线”，准确表达了该素数与小于该素数平方根的素数之间的关系，表明所有新生素数均是不能被小于其平方根的素数整除的自然数.

特点2科学设置起效素数的扩围单位，使自然数扩延的量与该起效素数的有效排除的量的比率，成为求得素数有效排除力的可靠依据.

特点3起效素数依照从小到大次序“登场”，体现了起效素数循序逐增原理，且从排除结果中又可看到新生素数的循序逐增规律.

特点4只筛去“前起效素数进行有效排除后所剩留的自然数乘于起效素数之积（即这部分合数自然数）”，避免了重复排除、无关排除，准确表达了起效素数的有效排除.

5.素数的有效排除力及证明方法

定义3素数有效排除力是指素数作为除数，将可被其整除的自然数排除出素数之外的实际能力，是素数有效排除的自然数的量占自然数总量的比率的反映.

素数的有效排除力，可分单个素数的有效排除力和整体素数的有效排除力.求得单个素数的有效排除力的方法是：应用循序逐增原理，设定每个起效素数的自然数扩围单位（以起效素数依序连乘之积为扩围单位的自然数的量），然后验证每扩围单位被该起效素数有效排除的自然数的量，扩围单位的自然数的量与被该起效素数有效排除的自然数的量的比率，就是该起效素数的有效排除力.整体素数的有效排除力，即是单个素数有效排除力相加总和.

现举例对单个素数的有效排除力进行证明.

例证1求证素数2的有效排除力.

已知2的有效排除線为4.第一步，设定2的自然数扩围单位.因2是首位素数，故2的自然数扩围单位为2个自然数（见图2）.

第二步，依次将2起的自然数跟起效素数2相乘之积（即可被2整除的自然数）划去（见图2）；图2

第三步，验证.从图2看出，每个扩围可被2整除而有效排除的自然数为1个.那么，得：

素数2的有效排除力为1[]2×3=1[]6.

这个数字表明，从数4起，每2个自然数中，就有1个被素数2有效排除出素数之外.假设4起的自然数总量为1（即100%），那么，1[]2×100%=50%.表明从数4起，素数2可将50%的自然数有效排除出素数之外.

图3

例证2求证素数3的有效排除力.

已知3的有效排除线为9.第一步，设定3的自然数扩围单位.因2×3=6，故3的自然数扩围单位为6个自然数（见图3）注：（图中方框数是被前素数整除的数）.

第二步，依次将经素数2有效排除后剩留的自然数跟起效素数3相乘之积（即可被3整除的自然数）划去（见图3）.

第三步，验证.从图3看出，每个扩围可被3整除而有效排除的自然数为1个.那么，得：

素数3的有效排除力为：1[]2×3=1[]6.

这个数字表明，从数9起，每6个自然数中，就有1个被素数3有效排除出素数之外.假设9起的自然数总量为1（即100%），那么，1[]6×100%≈16.6667%.表明从数9起，素数3可将16.6667%的自然数有效排除出素数之外.

例证3求证素数5的有效排除力.

已知5的有效排除线为25.第一步，设定5的自然数扩围单位.因2×3×5=30，故5的自然数扩围单位为30个自然数（见图4）.（注：图中偶数略，方框数是被前素数整除的数）

图4

第二步，依次将经素数2，3有效排除后剩留的自然数跟起效素数5相乘之积（可被5整除的自然数）划去（见图4）.

第三步，验证.从图4看出，每个扩围可被5整除而有效排除的自然数为2个.那么，得：

素数5的有效排除力为：2[]2×3×5=2[]30.

这个数字表明，从数25起，每30个自然数中，就有2个被素数5有效排除出素数之外.假设25起的自然数总量为1（即100%），那么，1[]6×100%≈6.6667%.表明从数25起，素数5可将6.6667%的自然数有效排除出素数之外.

余例不一一详举.

为使人们能更好地理解素数的有效排除力及其规律，笔者将素数2至23的有效排除力汇制了一个表（见表1）.只要将表中各栏目数字做比较分析，就会发现三个规律.

表1素数2至23的有效排除力的统计表

序号[]起效素数[]有效排除线[]自然数扩围单位设定[]每个扩围

规律1素数有效排除后自然数的“剩留的量”的续接规律.

从表1看出，素数2的“剩留的量”1个，记作为“（2-1）”；素数3的“剩留的量”2个，记作为“（2-1）×（3-1）”；素数5的“剩留的量”8个，记作为“（2-1）×（3-1）×（5-1）”，其余依此类推.

“剩留的量”的续接规律可用下图（即图5）表达出来.

起效素数[]2357P

自然数剩留的量[]（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）×…×（P-1）

图5

规律2“本素数有效排除”的量，正是上个素数的“剩留的量”.

如素数3，其“本素数有效排除”的量，正是上个素数2的“剩留的量”1个；素数5的“本素数有效排除”的量，正是上个素数3的“剩留的量”2个；素数7的“本素数有效排除”的量，正是上个素数5的“剩留的量”8个，余此类推.

根据此规律，又已知各个起效素数的自然数扩围单位的量为起效素数依序连乘之积，那么，可求得各个素数的有效排除力定理：

素数2的有效排除力为：1[]2

素数3的有效排除力为：2-1[]2×3=1[]6

素数5的有效排除力为：（2-1）×（3-1）[]2×3×5=2[]30

素数7的有效排除力为：（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7=8[]210

其余依此类推.

依照循序逐增原理和相对应的原则，素数的有效排除力定理可表达为：

素数的有效排除力定理表明：素数越小，其有效排除力越强；素数越大，其有效排除力越弱.

1×（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）×…×（P的上个素数-1）[]2×3×5×7×11×…×P

素数有效排除力总和=1[]2+2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7[SX）]+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上个素数-1）[]2×3×5×7×…×P.

根据各素数的有效排除力定理，可求得整体素数的有效排除力总和定理，即：

规律3“自然数的量”大于“被有效排除的量”，而“被有效排除的量”大于“剩留的量”.其定理为：

2×3×5×…×P>{[2×3×5×…×P]-[（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P-1）]}>[（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P-1）].

此定理从一个侧面证明了素数没有穷尽的问题.

6.对素数中“可穷尽”和“不可穷尽”问题的证明

证明1对素数没有穷尽问题的证明.

首先，将自然数整体（包含于某高位数起的自然数整体）设为1，那么，扩围的“自然数的量”可表达为“1=”.“1-1=0”等式告诉我们，要做到将于某高位数起的自然数全部（即100%）有效地排除出素数之外，整体素数的有效排除力也必须达到1（即100%）.

根据上面求证到的“素数有效排除力总和定理”可推知：

1×2×3×5×7×…P[]1×2×3×5×7×…×P>1[]2+2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上个素数-1）[]2×3×5×7×…×P.

“整體素数的有效排除力总和<1×2×3×5×7×…×P[]1×2×3×5×7×…×P”表明，自然数于某高位数起不可能被素数全部有效排除出素数之外，所以，素数不可穷尽.此证.

此证明跟“1>1[]2+1[]4+1[]8+…+1[]2n”证明的原理极相近.

证明2对“偶素数可穷尽问题”的证明.

已知偶素数2的有效排除力为1[]2，设3起的偶数总量为自然数总量的1[]2，那么，得：1[]2-1[]2=0.

所以，偶素数2的有效排除力可将大于2的偶数全部有效排除出素数之外，使偶素数于3起穷尽.此证1.

证明方法2已知自然数自4起，每2个自然数中有1个偶数，记作1[]2，又知偶素数2的有效排除力为1[]2.那么，得：1[]2-1[]2=0.所以，偶素数2的有效排除力可将4起自然数中的所有偶数全部有效排除出素数之外，使偶素数于3起穷尽.此证2.

证明3对“个位数为5的奇素数可穷尽问题”的证明.

已知素数5的自然数扩围单位为30（即2×3×5=30）个自然数，从6起每30个自然数中，个位数为5的自然数共有3个，表为3[]30.其中，可被3有效排除的1个（见前文图3），表为1[]30，可被5有效排除的2个（见前文图4），表为1[]30.那么，得：3[]30-1[]30+2[]30=3[]30-3[]30=0.

所以，素数3和5可将6起的个位数为5的自然数全部有效排除出素数之外，使个位数为5的奇素数于6起穷尽.此证1.

证明方法2已知经素数2，3的有效排除后，从25起每30个自然数中剩有个位数为5的奇数为2个，记作2[]30，又知素数5的有效排除力为2[]30.那么，得：2[]30-2[]30=0.

所以，素数5可将经素数2，3有效排除后剩留的个位数为5的奇数，全部有效排除出素数之外，使个位数为5的奇素数于6起穷尽.此证2.

证明4对“奇素数不可穷尽问题”的证明.

将于某高位数起的奇数整体设为1[]2.如要做到将某高位数起的奇数全部有效地排除出素数之外，奇素数的有效排出力总和须等于“1[]2”.已知整体素数的有效排除力总和<1，减去偶素数2的有效排除力1[]2，求得奇素数的有效排除力总和.据此，可推知：

1-1[]2>1[]2+2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上个素数-1）[]2×3×5×7×…×P

1[]2>2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上个素数-1）[]2×3×5×7×…×P

得：

因此，奇素数不能做到将某高位数起的奇数全部有效排除出素数之外，使奇素数穷尽.因奇素数是不可穷尽，所以，素数不可穷尽.此证1.

此证明跟“1[]2>1[]4+1[]8+1[]16+…+1[]2n”证明的原理极相近.

证明方法2设奇数总量为数9起的自然数总量的1[]2.又知，奇素数的有效排除力总和为“素数的有效排除力总和减去偶素数2的有效排除力1[]2”，即：（<1）-1[]2=<1[]2.

那么，得：1[]2-<1[]2=（>0）.

所以，奇素数不能做到将某高位数起的奇数全部有效排除出素数之外，使奇素数穷尽.因奇素数是不可穷尽，所以，素数不可穷尽.此证2.

证明5对“个位数为1，3，7，9的奇素数不可穷尽问题”的证明.

从上文图2、图3、图4可看出，经2，3，5的有效排除后，在剩留的自然数中，自然数的整体结构已发生了变化，已没有偶数和个位数为5的奇数，全为个位数为1，3，7，9的奇数.

由此可知，当素数7起到有效排除作用时，自数49起，每30个自然数中，剩有个位数为1，3，7，9的奇数共8个，即为自然数总量的8[]30，而个位数为1，3，7，9的奇数各2个，即各为自然数总量的2[]30.这就告诉我们，个位数为1，3，7，9的素数于某高位数起能否穷尽，完全在于7起的素数整体的有效排除力总和是否大于或等于8[]30.如是，则必穷尽，如否，则证明不可穷尽.现予以证明：

已知素数2，3，5的有效排除力之和为1[]2+1[]6+2[]30=22[]30，又知素数整体有效排除力总和>100%，据此可求得7起素数整体有效排除力总和为：

>100[]100-22[]30=>8[]30

已知经2，3，5的有效排除后，个位数为1，3，7，9的奇数