高中数学解题中的反思应用

蒋晓峰

【摘要】随着社会的不断进步以及教育事业的不断深入完善，新课标提出改善了传统的学生被动学习的状态.新课标要求学生有独立自主的学习能力，而不是一味地热衷于题海战术，不求甚解.因此掌握学习数学的方法至关重要.“解题反思”的应用可以帮助学生在习题中熟练掌握数学知识，是高中数学学习的有效方法.

【关键词】高中数学；解题方法；反思

“解题反思”的教学方法是通过回顾做过的习题，对习题进行回顾与考量，温故而知新.这样不仅可以巩固学生对题目所涉及知识的巩固，而且可以有效地提高學生自主学习的能力，学生通过自觉对题目进行总结归纳，找到自己失误的地方，总结数学的解题方法，这样才能掌握解题的技巧，激活发散思维，有效增强解题反思的能力.

1.反思一题多解，重视解题方法的比较

例1设函数f（x）=sinπx4-π6-2cos2πx8+1.问题（Ⅰ）：求函数f（x）的最小正周期.问题（Ⅱ）：假设y=g（x）与y=f（x）的图形关于直线x=1对称，那么求当在x在闭区间0，43上时，函数y=g（x）的最大值.

解（Ⅰ）将函数公式展开得，f（x）=sinπ4xcosπ6-cosπ4sinπ6-cosπ4x=32sinπ4x-32cosπ4x=3sinπ4x-π3，所以函数f（x）的最小正周期T为：2π÷π4=8.

（Ⅱ）解法一：在y=g（x）的图形上任取一个点（x，g（x）），那么它关于直线x=1的对称点为（2-x，g（x））.由题设条件可知，点（2-x，g（x））在y=f（x）的图形上，于是我们得到g（x）=f（2-x）=3sinπ[]4（2-x）-π[]3

=3sinπ[]2-π[]4x-π[]3=3cosπ[]4x+π[]3，在0≤x≤43区间内有，π[]3≤π[]4x+π[]3≤2π[]3，所以在区间0，43上函数y=g（x）的最大值为：gmax=3cosπ[]3=3[]2.

解法二：因为区间0，43关于直线x=1的对称区间是23，2，而且y=g（x）与y=f（x）的函数图形，关于直线x=1对称，所以函数y=g（x）在区间0，43上的最大值也是函数y=f（x）在23，2上的最大值.由步骤（Ⅰ）可知f（x）=3sinπ[]4x-π[]3，当23≤x≤2时，有-π[]6≤π[]4-π[]3≤π[]6，所以在区间0，43上函数y=g（x）的最大值为：gmax=3sinπ[]6=3[]2.

分析解法一按照正常思路顺序求解y=g（x），然后再求解区间内函数最大值.而解法二运用对称性，得到对称区间，并直接用函数y=f（x）得到函数y=g（x）在对应区间的最大值.可以发现第一种解法循规蹈矩，思路比较传统.第二种解法直观又简单，省去了推导另一个函数的步骤，不易出错.本题只是一个简单的例子，实际上一题多解的数学题目在初中数学中是很常见，甚至可以运用完全不同的方法来解决同一个问题.通过解题反思，辩证地对两个解题方法进行比较，深化对这类解题方法的理解，当学生总结这类题目达到一定程度后就会发现自己在数学方面有了一个巨大的提高.

2.反思错误典型，重视思维方法的训练

例2已知实数m和n，满足等式m2-7m+2=0，n2-7n+2=0，则nm+mn=.

解由题意可知m，n是方程x2-7x+2=0的两个根，所以m+n=7，mn=2，可以得到nm+mn=n2+m2mn=（m+n）2-2mnmn=72-2×22=452.

分析上面解答看似条理清晰，推理过程每一步都有根据，结果似乎完全正确，其实不然.由于思维定式，上边得到了一个错误的结果.在面对新的试题时，学生倾向于运用已经定型的思维模式加以解决.造成这种困境的根本原因就是实行题海战术，对套路，框题型.回到上面问题的解答中来.利用方程得到的m值有两个，与之相同n的值也有两个，所以nm+mn的值不止一个，上述解法出现了漏解的情况.其错误的根本原因在于认为m2-7m+2=0和n2-7n+2=0等价于m和n为方程x2-7x+2=0的两个根.反思解题过程就是反思在解题过程中犯的错误.导致解题错误的原因有很多种，除了例子中根据题目条件，理解错误，以为m和n为方程x2-7x+2=0的两个根，导致思路上的偏差以外，学生有时还可能根据题目中隐晦的条件导致思路出现偏差，有时会因为没有认真审题而彻底解错题目，有时会采用错误的解题方法，或者是马马虎虎的计算，这些也都是常见的典型错误.只有在根本上找到错误的原因，才能吸取教训，保证不犯同类型的错误.对类似这样的题目进行典型错误的反思，重视思维方法的训练，有利于提高学生解题的严谨性，使其解题思维模式更加合理化.

3.总结

综上所述，在高中数学教学中，要引导学生进行解题反思，对解法、问题中所包含的数学方法和数学思想进行揣摩.要反思一题多解，重视解题方法的比较；反思错误典型，重视思维方法的训练；反思思维方式，重视命题思想的理解.经过一系列的总结与反思，让学生养成积极探究，独立思考，反思总结的好习惯，享受解答数学难题带来的无尽乐趣.