三角复合函数最值求法一分解函数法

郑有礼

【摘要】三角复合函数最值的求法有多种，本文笔者通过例题来阐述分解函数法的应用，为学生和讀者们以后的结题带来一些信息的思路和方法.

【关键词】三角复合函数；分解函数法；中学教学

三角函数形成的复合函数的最值的探究是历年高考命题的一个热点，笔者认为：若y是x的复合函数求最值，首先可引入中间变量，写出组成复合函数的基本函数，即把复合函数分解为几个基本函数；其次由x的取值范围求出中间变量的取值范围，由中间变量的取值范围求出y的取值范围；最后根据y的取值范围直接写出原函数最值.这种求其复合函数最值的方法简单易行，笔者把它命名为分解函数法.

例1（2014·天津）已知函数f（x）=cosx·sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值和最小值.

解f（x）=cosx·sinx+π3-3cos2x+34=cosx·12sinx+32cosx-3cos2x+34

=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.

（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）设y=12u，u=sinv，v=2x-π3，

因为-π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，从而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，

因此，f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值为14，最小值为-12.

点评在（Ⅱ）中，求三角函数形成的复合函数f（x）的最值时，引入了中间变量u，v

把复合函数最值问题转化为三个基本函数的值域问题加以解决.这种方法充分体现了数学的简洁美、奇异美及转化思想，具有很强的操作性.

例2（2014·江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.

（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.

解（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，

f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x

设y=sinu，u=π4-x，

因为0≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，

因此，f（x）在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为-1.

（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，

由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①

由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②

联立①②，结合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.

点评该例（Ⅰ）中，函数f（x）实际上是三；角函数形成的复合函数，求其最值时，采

用了分解函数法，引入了中间变量u，把该复合函数分解为两个基本函数，通过求这两个基本函数的值域得出了原函数的最值.这种方法简洁明快.

总之，探究三角复合函数的最值时，首先常据倍角公式、降次公式（半角公式）、和角公式、差角公式、辅助角公式把原函数化成复合函数的形式；其次可采用分解函数法，引入中间变量，把复合函数分解为几个基本函数；最后通过求基本函数的值域求出复合函数的最值.求基本函数的值域时可以采用单调性法、图像法、不等式法、配方法等数学方法.利用分解函数法求复合函数最值既能体现数学美，又能渗透数形结合、转化、整体的数学思想.这种方法简单易行，具有很强的操作性.