新课程下椭圆及其标准方程教学设计

任志伟

【摘要】圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，充分体现了解析几何中代数与几何相结合的基本思想.椭圆作为圆锥曲线的典型代表，将这一基本数学思想表现得淋漓尽致，因此，研究出较为科学合理的椭圆及其标准方程的教学设计，将会影响学生对这一部分知识的掌握以及相应数学思维品质的培养.

【关键词】新课程；椭圆；标准方程；教学设计

一、研究背景及意义

1.椭圆及其标准方程的教材地位及学习价值

圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，在高中数学选修2-1中，圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容.“椭圆及其标准方程”具有承前启后的重要作用：首先，“椭圆及其标准方程”中标准方程的推导需借助“曲线与方程”中的知识，是对上一节知识的有效巩固；其次，椭圆位于三种曲线之首，对这三种曲线而言，研究的问题基本一致、研究方法相似，若能够掌握好研究椭圆的基本方法，学习其余两种曲线时就会得心应手.故掌握好椭圆及其标准方程对学生学习具有极大的促进作用.

2.椭圆及其标准方程的教学状况及学生的掌握情况

椭圆及其标准方程如此重要，对于学生的学习及教师的教学均是一种挑战.因而，迫切需要科学合理的教学设计，将知识有效地教授给学生，使其养成良好的数学品质.

圆锥曲线在高考中所占分值较大，这给教师、学生带来了较大的压力.在时间紧任务重的情况下，多数的教师没能很好的利用教材及辅导资料，不进行增减直接照搬资料，常常忽视学生的主体地位，没能充分调动学生积极性，缺少探究学习知识的过程.

例如：教授椭圆及其标准方程时，多数教师按照教材编排，在一个课时内对其进行讲解，导致课堂内容过多，讲解时间增加，学生只能被强迫着将知识装入脑子中，靠死记硬背掌握知识，造成概念理解不到位，进而难以处理相应的问题.因此，本文教学设计中将其分两个课时进行教授.

二、设计依据

1.新课程下的教学要求

通过研读《普通高中数学课程标准（实验）》针对圆锥曲线教学内容的要求后，归纳出以下几点关于椭圆及其标准方程的教学要求：

（1）借助丰富的实例，让学生从探究中抽象出椭圆的定义，并体会其在现实中的实际应用；

（2）椭圆标准方程的推导中，首先从典型的几何特征入手，选取合适的坐标系，其次利用轨迹问题的本质（抓住不变量），创建适当的方程.

（3）明确用代数研究几何的方法，渗透数形结合的思想.

2.教學方法

对于椭圆的标准方程来说，它没有明确的教学类型分类，可以说是椭圆定义的一种应用，也可以说是一种命题，还可以说是一种求解标准方程的数学题，没有较为明确的教学设计依据，但可以汲取著名教育家曹一鸣编写的《数学教学论》一书中的经典教学方法，完成教学设计.

三、教学设计

1.椭圆定义的教学设计

（1）情景引入

用一个不垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可得到不同的截口曲线，分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（多媒体展示图片便于直观理解）.

为什么截口曲线会出现不同情形？学习圆锥曲线定义之后依次进行解答（设置问题，激发学生的好奇心）.

设计意图：采用总分的教学手段：先提出圆锥曲线再引入椭圆，便于学生总体感知，且由熟悉场景引人新课，易于接受，引起兴趣，激发求知欲.

（2）新课教授

之前就已接触过圆，现研究第二种圆锥曲线——椭圆.

生活中处处可发现椭圆的影子：圆柱形水杯倾斜时水面的边界，阳光下圆球的影子，地球绕太阳运行时的轨道等（展示图片，数学来源于生活）.

问题1：观察以上曲线，它们和圆有那些相识之处——似乎圆被“压扁”后就得到了椭圆.

问题2：那么可否借助圆从“到定点距离等于定长”的角度来定义椭圆？

设计意图：将椭圆与圆作类比，借助定点、定长得出椭圆定义顺理成章，培养学生敏锐的观察及类比能力.

师生活动：取一段长为2a的细绳，将两端点分别固定在图板同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端拉开一段距离，画出的轨迹又是什么——椭圆.

设计意图：以圆为基础，学生在教师的带领下，通过自己观察、猜想、动手检验得到椭圆的定义，由教师灌输式转变为学生自主探究式，加深对椭圆定义的理解，极大的提高了课堂学习效率.

问题1：画出椭圆的过程中哪些量不发生变化（即椭圆上的点有何特征）——在笔尖移动过程中，细绳的长度不变，即笔尖到两定点的距离和为常数（设计问题，让学生从动中找静，培养其对事物的敏感度）.

得出椭圆定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.记为2c（给出椭圆准确定义，将文字语言转化成为符号语言）.

若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=2a.

问题2：将学生分成小组再次作图并讨论：如果细绳的长度小于或等于两定点的距离，作出的图形又怎么样

通过实践得到当且仅当2a>2c时才可作出椭圆.

设计意图：改变以往教师直接告知学生：2a>2c为椭圆定义中的关键，使学生分组操作，对比讨论，自我总结得出结论（加深对概念的理解，避免遗漏定义中的注意事项，注重数学的严谨性）.

（3）概念巩固

现在解决课堂开始的问题：用一个与圆锥轴线夹角为锐角的平面去截圆锥，得到的截线是椭圆.

用教具模拟平面去截圆锥（使用教具直观展示便于理解，可激发学生的动手能力）在圆锥内放大小不同的两个球，使其分别相切于圆锥的侧面、截面，切点为E，F，现在截口曲线上任取一点A，过点A做圆锥的母线，使其分别与两个球相切于B，C，那么，据椭圆定义，只需求证A与E，F的距离之和为常数即可，为此，需回忆球的切线长定理：过球外一点做球的两条切线，切线长相等.

图1

由图1，不难发现AE与AC为小球的两条切线，AF，AB为大球的两条切线，因而AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.

这样，就得到截口曲线上任意一点A到两定点E，F的距离之和为常数，即满足椭圆定义，故截线为椭圆.

设计意图：学习椭圆的概念之后，解决教师们常常忽视的截线是椭圆的问题，既要让学生知其然又要知其所以然（培养学生善于发现问题，并且利用已学知识解决问题的能力）

2.椭圆标准方程的教学设计

（1）复习引入

回顾求轨迹方程的一般步骤：建系设点→抓住不变量→创建方程→化简

例如求圆方程的步骤，即：求到定点的距离等于常数的点的集合

设计意图：知识具有连贯性，课前及时回顾，有助于提前进入课堂；

以圆为例，有两处妙用：①用具体的例子帮助识储备不足的学生，回顾求动点轨迹的方法；②圆作为圆锥曲线的一种，与椭圆联系紧密，可以类比圆的对称性，利用椭圆的对称性，建立坐标，避免了无规则地乱建系.

（2）新课教授

类比圆的方程求法，可否求出椭圆的标准方程（明确要解决的问题、可利用的知识，培养学生严密的解题思维）

椭圆定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆（着重强调2a>|F1F2|不可或缺）.

类比圆，据椭圆的对称性，可能出现两种建系方法：

①以经过椭圆焦点F1，F2的直线为x轴，以线段F1，F2的垂直平分线为y轴.

②x轴、y轴互换，即以经过椭圆焦点F1，F2的直线为y轴，以线段F1，F2的垂直平分线为x轴.

自主探究：将学生分成两组就两种不同的坐标系，求出对应的椭圆标准方程.

利用多媒體给出第一种建立坐标系的详细过程（方便学生自行校对）.

设M（x，y）是椭圆上任意一点，焦距2c（c>0），则焦点F1，F2的坐标分别是（-c，0），（c，0），由定义，得M与F1，F2的距离之和为2a，即|MF1|+|MF2|=2a.

∴（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.

化简此方程（教师提点化简过程中的两次平方和方程两边同除以某个式子，最终化解为分式，利用函数的思想求解曲线方程，深化几何与函数的联系）.

将左边的一个根式移到右侧，得（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2.

两边平方，得a2-cx=a（x-c）2+y2.

两边再平方，得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

方程两边同除a2（a-c2），得x2a2+y2a2-c2=1.

由椭圆的定义可知2a>2c，即a>c，故a2-c2>0.

方程较为复杂，故常令b2=a-c2.（及时说明为何要引出b值不会显得唐突）

最终可得（列出比较内容，更加直观、深刻）

焦点位置x轴，标准方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.

焦点位置y轴，标准方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.

图2

寻找标准方程与坐标轴之间的联系发现：焦点位于哪个轴上，哪个的分母大.

由a，b，c之间的关系b2=a-c2，可在中找出对应的线段（结合图形给出a，b，c的几何意义，符合学生的认知过程，便于理解）

|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|PO|=a2-c2=b.

其中a为长半轴、b为短半轴、c为焦半径，

设计意图：转变教师直接板演求解标准方程的过程，两种不同的建系方式渗透分类讨论的思想，合理地安排学生分组讨论，由被动听讲转为主动参与，增强了主体意识，在此过程中教师巡视给予帮助，发挥其指导、帮助、促进作用

四、设计反思

这次教学设计中很好地贯穿了新课程教学理念，但是也出现了一定的不足，第一：由于教学经验有限，一些数学教育理论和专业知识，不能完美应用于教学设计中；第二：在教学设计中针对学生的心理情况的设计比较少.

希望借鉴本设计者据实际情况进行合理的修改.

【参考文献】

[1]徐忠才.高中数学课程中圆锥曲线的教学研究[D].甘肃：西北师范大学，2005.

[2]曹一鸣.数学教学论[M].北京：北京师范大学出版社，2010（8）：85-175.

[3]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2007（2）.

[4]臧永建.浅谈新课程标准下的解析几何教学[J].科技信息，2009（10）：23-24.