从错题探究线性代数的教学

熊波

【摘要】本文结合两道典型的线性代数例题，对错解进行详细的探究，总结出一套教学策略，以此培养学生举一反三，类比分析，以及探索根因的能力.针对线性代数的特点，结合教学经验，提出一些看法.

【关键词】线性代数；教学；错题

线性代数是高校经济，管理类专业本科生一门重要的基础课，是经济数学的重要组成部分.与微积分相比，线性代数这门学科的特点是内容抽象，概念多，性质多，内容纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透.正是由于这种学科特点，导致学生学习起来有很大难度，普遍感到“做题困难”、“做题没有思路”.针对这一现象，本文结合在教学实践中遇到的典型错例，探讨线性代数的教学策略，更好地培养学生进行抽象思维和运用所学的知识解决实际问题的能力.

一、典型错例

例1已知矩阵A为n阶方阵，A2=A，A≠E，证明|A|=0.

虽然这是一道在线性代数练习中常见的简单证明题，但是学生在处理时总会出现一些错误，现将错误的解法归纳如下：

错解1在等式两边同时取行列式得|A|2=|A|，因此|A||A|-1=0，因为A≠E，所以|A|≠1，由此得|A|=0，证毕.

此种证明方式错误之处在于因为A≠E，所以|A|≠1，很容易举出反例.

设A=20012≠E，但是|A|=1.

造成学生使用此错误方法证明的原因是学生在理解矩阵的行列式这个概念时，很容易将矩阵与行列式两个概念相混淆，经常使用一些啼笑皆非的结果，例如因为A≠O，所以|A|≠0.

错解2由A2=A得AA-E=O，因为A≠E，所以A-E≠O，由此得A=O，所以|A|=0.证毕

此种证明方式的错误之处在于忽视了矩阵乘法不满足消去率，设A，B，C均为矩阵，若AC=BC推不出A=B.

例如A=1203，B=1004，C=1100，AC=1100=BC，但是A≠B.

正是因为矩阵乘法不满足消去率，矩阵乘法就不满足以下我们在数字乘法中常用的一条性质AB=0A=0或B=0，这条性质在矩阵乘法中也是不成立的.例如

A=11-1-1，B=1-1-11，AB=0000，

但是A≠O，B≠O.在上述证明中正是错误地使用了这条性质，导致证明错误.

正解：反证假设|A|≠0，则A可逆，等式A2=A两边同时左乘A-1，得A=E，与已知矛盾，说明假设不成立，因此|A|=0.

例2判断说明题：若矩阵A与B等价，则A的行向量与B的行向量等价.

这道题涉及矩阵等价与向量组等价两个概念.矩阵与向量组的关系一直都是学生学习的难点，在讲授这部分内容时老师总是会强调m×n矩阵A，既可以看成是m个n维行向量组成的向量组又可以看成是n个m维列向量组成的向量组，即矩阵可以看成向量组，向量组也可以看成矩阵.学生会认为既然矩阵就是向量组，向量组就是矩阵，那么若矩阵A与B等价，则显然A的行向量与B的行向量等价，而且A与B的列向量也是等价的，从而认为这个论断正确，在学生中99%的人会持有这种想法.

其实这个论断是错误的，一个简单的例子就能说明问题.

设A=100010，B=101010，观察可以看出将A第一列加到第三列上就是矩阵B，所以矩阵A与B等价，但是A的行向量组是1，0，0，0，1，0，B的行向量组是1，0，1，（0，1，0），他们不等价.

产生这种错误的原因是学生混淆了矩阵等价与向量组等价两个概念，仔细研究概念会发现矩阵等价是指若矩阵A能通过初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，而向量组等价指的是若向量组I与向量组II能互相线性表示，则称向量组I与向量组II等价.这两种等价的定义是完全不同的，以下几个定理也能说明这个问题：

（1）矩阵A与B等价的充要条件是rA=rB；

（2）若向量组I与向量组II等价，则rI=rII.

矩阵等价中的充要条件在向量组等价中成为了充分条件，而从上面的反例中也可以看出（2）的逆命题是不成立的.r1，0，0，0，1，0=r1，0，1，（0，1，0）=2，但是向量组1，0，0，0，1，0与向量组1，0，1，（0，1，0）不能相互线性表示，所以他们不等价.若希望（2）的逆命题成立必须加上条件

（3）若rI=rII，并且向量组I能由向量组II线性表示，则向量组I与向量组II等价.

从上述分析可以看出，矩阵等价与向量组等价是不同的两个概念，两个向量组等价则它们所对应的矩阵等价，反之则不真.数学概念是日常生活中的客观事物在数量关系上的抽象反映，这也就决定了线性代数概念的抽象性，例如：行列式、线性相关、特征值等概念.因此教师在讲授完这两个概念后一定要将这两个概念进行比较，通过简单的例子让学生了解两个概念的区别与联系.教师通过对比概念之间的关系既能恰如其分地引进新概念，也有助于加深学生对已学概念的理解，这样学生的学习才会达到事半功倍的效果.

以上是笔者总结授课过程中经常遇到的错解，其主要原因在于学生对抽象概念的理解有误.正因为线性代数的基本概念很多，许多概念之间形成了连环扣，一环扣一环，如若某一环出现问题，就会致使环节乱套.所以笔者在日常教学中总结出了一套授课技巧，首先力求将某些概念转化为直观形象的说法加以说明，其次正确使用符号和运算法则，使学生一目了然，将公式烂熟于心，最后通过实际中的应用或引入相关的例子对概念多做说明.

只有通过教师的一步步引导，学生自主思考的学习能力，加上对概念进行直观形象的讲授，才能促使学生在学习线性代数的过程中步步为营，环环相扣.

二、线性代数的教学策略探讨

1.讲授概念需直观形象

数学概念一般较为抽象，若不注重引入方法直接介绍，若不对概念引入方法、分析比较、举一反三，对学生而言，一般难以掌握概念间的区别，以致张冠李戴，解题出错.在教学中，为了让学生弄清某些定义叙述较为抽象的概念，教师应用大量的实例将概念具体化.

例如线性代数的一个重要概念——向量组的极大无关组，它是向量组这章的重难点，只有讲清楚了此概念的定义和性质，学生才能理解向量组的秩，这是课程中承上启下的一个重要概念.此概念较为抽象，直接按定义讲述学生很难理解，因此在处理这个概念时，笔者首先会给学生讲一个实例.某大学校长要向全校学生传达一个文件，他会怎么做呢？如果把全校学生集合起来开大会是很不明智的做法，因为这需要很大的场地而且很难保证每个学生都到场.此时校长会请每班派班长来参加会议，再由班长将文件传达给每一个学生.教师将这个生活中常常遇到的问题引入到极大无关组的概念讲解中.如果把全校学生看成一个向量组，这个由每班班长组成的代表组就是向量组的极大无关组.接下来教师马上反问学生，这个代表组有什么特点？

（1）这个代表组是唯一的吗？

（2）这个代表组的人数恒定吗？

（3）这些代表之间是什么关系？

（4）代表组与全校学生是什么关系？

此时学生会马上回答，这个代表组可以由每班的班长组成，也可以由每班的支部书记组成，它不是唯一的；但是代表组成员的人数是恒定的，因为每班只需派一名代表参加会议；同时这些代表必须来自不同的班级；代表组能够代表全校学生；四个简单的问题就让学生理解了极大无关组不唯一，极大无关组中向量个数是不变的，极大无关组是由线性无关的向量构成的，极大无关组与向量组等价这些性质.

通过这个实例来学习极大无关组的概念，课堂气氛活跃，如此讲解一方面使学生觉得亲切易懂，另一方面引起了学生学习的兴趣，学生学习轻松自如，概念理解透彻，性质定理记忆深刻，可以达到事半功倍的效果.

2.符号和运算法则需正确使用

线性代数的符号多，运算法则多，学生在学习时会与以前的符号和运算法则混淆.比如说矩阵A的逆矩阵符号A-1，学生在学习时习惯上将它与数的倒数联系在一起，就会引入错误记号1A，已知矩阵A可逆，则AB=CB=CA，这是在学生作业中经常会出现的错误.学生混淆了矩阵的逆矩阵与数的倒数符号，产生了上述错误，在习题课上教师必须指出这种符号错误，通过错误事例让学生加强记忆.

线性代数课程中的运算法则有很多与以前的运算法则完全不同，例如矩阵乘法不满足交换律，消去率，上文的错解2就是学生错误使用消去率造成的.学生往往会忽视这些法则，错误的使用以前的数学公式，例如：

A+B2=A2+2AB+B2A+BA-B=A2-B2

这是学生经常使用的公式，但是在矩阵乘法中这些公式却不一定成立.因此要求教师必须在讲授过程中加强学生对法则的认识，用生动的语言和适宜的比喻，加强学生的记忆.再例如，讲授ABT=BTAT这个法则时，笔者会称之为“穿衣服，脱衣服”法则，穿和脱的顺序正好是相反的，因此等式左右两边的顺序相反.利用这个形象生动的比喻，帮助学生记住了这个法则.当再次遇到与之类似的性质AB=BA时，学生马上会想到“穿衣服，脱衣服”法则.

3.概念混淆需比较讲授

所谓比较法，即把某些有一定相关性的知识点或练习题放在一起对照讲授或练习，找出它们的共同点和不同点的教学方法.它包括：相反概念的比较；易混概念的比较；新旧知识的比较；同类事物的比较.对于线性代数中有许多相似的概念，非常容易发生混淆，教室在授课的过程中将其进行比较分析，以加强对概念的理解.比如上文中的例2，对比讲授矩阵等价与向量组等价，可以使学生加深对知识的理解，准确把握题意，提高分析理解的能力.通过比较可以辨别真伪、正误，提高认识水平；可以举一反三，拓宽视野，更好地把握数学知识的本质特征.

4.知识点需环环相扣

线性代数课程的知识点纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透.行列式、矩阵、向量、线性方程组，方阵的特征值各章之间由一个概念——秩，贯穿始终，教师在讲授时应抓住这个重点，时刻提醒学生注意前后知识点的联系.例如n阶方阵A，

rA=n|A|≠0A可逆A的行（列）向量组线性无关Ax=0仅有零解Ax=b有唯一解A的特征值全部非零rA=n.

通过秩的概念，可以将整个线性代数的知识贯穿成一个圆环，圆环上任意两个节点之间都是等价关系.只有抓住了这些等价关系，才真正掌握了线性代数的灵魂，学生才能自如地运用这些知识点进行解题.因此，在授课过程中，应紧抓核心知识点，由局部到整体，由分散到总结，指导学生掌握重点学习方法（3）.

5.错题讲解需举一反三

一定量的典型习题训练有利于学生加深对所学知识的理解.精心组织好习题，是提高教学质量的一个重要环节.教育部委托复旦大学草拟《线性代数教学大纲》中指出：“习题课的作用是使学生进一步理解和掌握课程内容，以及培养严格的推理能力”，此处明确了习题课的重要性.因此，在习题课上，教师需要适时地引导学生学习的主动性，善于归纳总结，通过做题吸收知识内容.

此外，笔者认为不仅仅要求一定的习题量，还要培养学生总结错误做法（2）举一反三，触类旁通，以免学生对抽象概念一知半解，这样可以激发学生的求知欲，继而达到好的学习效果.

以上是笔者在《线性代数》课程教学的一些观点，通过总结几年的教学经验，笔者认为概括来说就是要更为注重学生的接收能力，才能合理地进行教学.教师作为整个课堂的操纵者，应学会用生动的语言、合适的比喻来带动课堂气氛，抓住学生的眼球，同时也要求教师在实践中不断改进教学方法，形成自己的教学特色，精心安排每一堂课的环节，对教学效果多做总结和反省，对学生言传身教.方能让深奥枯燥的数学知识妙趣横生，浅显易懂.正如陶行知先生所言“要想学生好学，必须先生好学.唯有学而不厌的先生才能教出学而不厌的学生.”

【参考文献】

[1]孙艳，吕堂红.《线性代数》课程教学改革的实践与思考[J].长春理工大学学报（社会科学版），2007（1）.

[2]郑宝东，武静波，张春蕊.在典型例题的习题课教学中培养学生的创新能力[J].大学数学，2008（2）.

[3]马丽杰.关于线性代数教学中的几点思考[G].改革与开放，2009（24）.