数学教学与学生思维能力的培养

张金伙

【摘要】高中数学教学的目标要求之一，就是培养学生良好的思维能力.同时，良好的思维能力，又是学习数学必须具备的.本文拟从四个方面，就数学教学与学生思维能力的培养，提出笔者的一些认识和做法.一是剖析概念，培养思维的严谨性；二是类比联想，培养思维的广阔性；三是转换变通，培养思维的辩证性；四是逐层引导，培养思维的深刻性.

【关键词】数学教学；思维能力；严谨性；广阔性；辩证性；深刻性

数学，被人称之为“思维的体操”.《数学课程标准》中，也明确提出要培养学生的“发散思维和求异思维”.可见不管是数学的教学目标，还是要把数学学好，都离不开对学生思维能力的培养.具体地说，在数学教学中，应通过对数学概念的剖析，符号组合的分析，图形的证明，计算的变化等数学活动，使学生在逻辑思维、抽象概念、对称欣赏、表象创造、变化联想等方面，得到数学思维的训练，从而培养数学的思维能力，使思维具备敏捷性、变通性、严谨性、广阔性、深刻性、创造性等良好品质.

培养学生的思维能力，既是数学教学的目标要求之一，同时良好的思维能力，又是学习数学不可缺少的，甚至对学生今后的学习生活、工作，都是大有益处的.培养学生良好的思维能力，既是目标，也是手段；既是要求，也是途径.

如何培养学生的思维能力，可以说“仁者见仁，智者见智”，方法、手段、措施不少.笔者多年从事高中数学教学，下面拟就此问题，结合自己的教学，粗浅地谈谈自己的认识、体会和做法.

一、剖析概念，培养思维的严谨性

高中数学涉及的概念很多.数学概念是数学知识的重要内容，对教学概念理解是否全面、准确，不但直接影响到学生判断能力、迁移能力、化归能力等的高低，而且有可能由于学生对概念理解掌握的模糊，导致推理不当，结论错误.

数学中的不少概念，表达严密，有的是充满唯一性，有的充满必要性，有的条件、限制极强，表达中缺了一点，漏了一项，都有可能出现错误.为此，通过对数学概念的深入细致分析，关键点的反复强调，有助于培养学生思维的严谨性.具体地说，教学中教师可以通过对概念的讲解，复述，辨析等方法达到训练培养严谨思维的目的.特别是采用辨析题的形式，不失为一种好方法.

例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由.

1f（x）=x3+x；2f（x）=x2+x12；

3f（x）=0；4f（x）=0，x∈（-3，4].

通过对以上四个函数奇、偶性的分析，学生对奇、偶函数的定义域必须关于原点对称这一隐含条件定会有更深刻的认识，从而养成要判断函数奇、偶性，先必须考虑函数定义域的良好习惯.

在讲解概念中，除了正常的讲述外，教师可以设置几个与正确全面理解概念有关的选择判断题，让学生在思考判断、辨析选择中，既加深对概念的全面准确理解，又训练培养学生思维的严谨性.严谨的思维，不但是学生学习数学所需要的，也是学习其他学科，乃至今后步入社会，在社会工作、生活中也是必不可少的.

二、类比联想，培养思维的广阔性

类比联想，就是将新旧知识之间进行形式的或内在的对比或比较，从而发现它们的特征和规律，进而提出猜想和判断.它是依据两个对象或两类事物间存在的相同或不同属性而联想到另一类事物也可能具有这种属性的思维方式.高中数学中的立体几何，代数，解析几何，它们都具有一定的独立性，但又有着千丝万缕的不可分割的紧密联系.这些不同分支的数学门类，它们相互渗透，互相依存，很多时候只是外在形式的不同，其实本质是一致的，所谓“万变不离其宗”和“条条大路通罗马”.数学中的几何问题可以用代数来体现，而反过来代数问题可以用几何来体现，数形结合，抽象与直观结合，这正是数学无穷的奥妙和变化多端的所在.为此，在教学中，数学教师要通过用类比联想的方法，有效提高解题的速度和准确性，同时也借此化解疑难，促进学生思维广阔性的培养.在教学中具体地做法是：在解决几何问题时，教师要求学生联想运用代数原理和方法，在解决代数问题时，要求学生联想运用几何问题原理和方法，同时讲解例题和练习、测验，也注意筛选相应的题目.

例2求函数y=x2+4x+13+x2-2x+5的最小值.

单独分析此函数，比较繁琐，即含有二次函数，又是两个根式相加，而且两个二次函数的单调性又不相同，要求其最小值，确有一定难度.引导学生进一步分析，原函数可化为y=（x+2）2+9+（x-1）2+4，则可观察出两个根式与解析几何中的距离公式相似，从而有了进一步的变形：y=（x+2）2+（0-3）2+（x-1）2+（0-2）2，于是便可联想到此式的几何意义：即求点（-2，3）与点（1，2）到x轴上点的距离之和的最小值.然后用几何作图，即可获解.

在教学中，教师有意识的多进行类比联想的讲解训练，可以有助于学生思维联系性和广阔性的培养，不但使学生在教学学习中，举一反三，联系贯通，化难为易，化繁为简，提升能力.同时培养了学生全面看待问题，联系发展观点看待问题，尽力删繁就简，快速解决问题的能力，从而使得思维更加广阔，在今后学习，生活，工作中，不囿于一点，不拘于一面，在更广阔的视野和思维空间，更高效地解决问题.

三、变通转换，培养思维的辩证性

在有限的时间里，解答数学命题，很多时候，不能一条道走到底，需要的是另辟蹊径，需要的是变换一个角度，这就如同改打一座山头，当正面强攻硬碰有难度，攻不下时，需要采用迂回战术，这样往往可以收到奇效.

例3求抛物线y2=4x上的点与圆（x-4）2+y2=1上的点间的最小距离.

分析：两个点都在运动，如果分别在抛物线与圆周上各任取一点，然后运用两点间的距离公式来求，的确太繁琐了，而且总觉得还缺点什么.还有其他方法吗？能否在动中找出不动的因素？思路便可由此展开，圆周上任一点到圆心的距离相等，于是乎，两动变为一动一静，问题便简化多了.

在实际教学中，数学教师要交给学生“正难则反，化动为静，数形结合，辩证分析”等解题的原则和方法，尽可能的要求学生一题多解，要求学生注意从不同角度分析问题.这样学习一项内容，一个章节知识，能将多项内容，多个知识点，互相联系起来，融会一体，即达到温故而知新，融会贯通的效果，又培养了多角度看待问题，联系发展全面看待问题的辩证思维能力.辩证思维能力的培养，不仅对于学习数学，解决数学问题，大有裨益，同时也能使学生在成长过程中，能更清醒，更理智，更全面的看待问题，经得起困难挫折的挑战，受得了成功荣誉的考验.

四、逐层引导，培养思维的深刻性

数学，最忌讳的是观察停留在表面，不能深入分析发现，那种浮光掠影的表象肤浅思维，是很难把数学学好的.数学需要的是由表及里，由浅入深，由外到内的解析，只有思维的深刻，才有可能去伪存真，抽丝剥茧，层层深入，最终全面准确的解决问题.因此，数学教学，应注意培养学生思维的深刻性.

要培养学生思维的深刻性，教师在教学中可采用层层设凝，步步激趣，逐层引导的方式，由此训练培养学生思维的探索性和深刻性.

例4若以（2，0），（2，2）为焦点的椭圆与抛物线y2=8x有公共点，求长轴最短的椭圆方程.

此题涉及两次曲线的焦点问题，看似超出了大纲要求.有些学生试图求出两曲线相切时的切点坐标而求解此题，计算量非常之大.不能力敌，便设法智取.

师：“所求椭圆满足几个条件？”

生：“两个.一是要与抛物线相交，二是长轴最短.”

师：“怎样从另外一种角度看这个问题？”

生：……（茫然）

师：“相交，即有公共点，公共点便具有双重性：既在抛物线上，又在椭圆上，椭圆的长轴又怎样求？”

生：“哦，公共点到两焦点的距离之和便等于长轴长.”

生：“此题可这样叙述：在抛物线上找一点，使得它到椭圆两焦点的距离之和最小……”

继而分析可知：抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，再根据抛物线上的点到焦点的距离与它到准线距离相等的特性，便可简易求解.

从上述教学案例中，不难看出，由于教学其高度的抽象性，严谨的逻辑性，结论的确定性和应用的广泛性等特征，决定了数学学习有其难度，一些学生对此心存畏惧，为此在教学中采用这种逐层引导的方式，不但是其学科特点所需要的，而且让学生能清楚了解和掌握其变化规律，发现变换的奥妙，激发求知探索的兴趣，培养思维的深刻性.这种渗入探究的深刻思维，是一个人良好思维品质的体现，也更加有助于学生今后健康的成长和成才.

数学，与其说是一门与计算有关的学问，还不如说是一门讲究思维的学问，换句话说就是“数学离不开思维”.只有良好的思维品质，才能把数学学好.教师在数学教学中，只有注重培养学生的这些思维品质和思维能力，才有可能把数学教好，同时才能培养学生良好的思维品质，这不仅对于数学学习非常重要，对于其余学科的学习，对于学生各方面良好素质的形成，也是大有意义的.