高等数学教学中的化归思想及应用分析

杜军

【摘要】化归法是数学学习的一种非常重要的方法，它的本质是通过把一些人们不能解决的问题通过一次或者多次的转化，变成一个或多个人们比较熟悉或者能解决的问题.高等数学的化归方法，不仅仅是一种教学的方法，同时，也能通过这种方法的运用，将学生的认识结构进行优化.本文将主要对高等数学中的化归思想及应用进行简要的分析.

【关键词】高等数学；化归思想；应用；分析

仔细回想，在我们学习数学的过程中，很多时候，我们都是将那些我们无法解决的问题通过转化的方式将其转变为我们能把握或者能解决的问题.通过这种方式，我们可以将已掌握的知识、经验和方法运用来解决一些全新的问题，这就是化归思想最大的优点.化归思想是数学学习中的一种基础方法，在运用的过程中主要就是要求人们能通过不同的角度和思维方式去处理问题.在高等数学的教学中，化归思想对于提升数学的教学质量具有重要的作用.

一、教学中运用转化促进化归

（一）通过数与形的转化产生化归

在数学的学习中，最常见的就是“数”与“形”了，二者是数学问题的必备因素，同时，二者又相辅相承.在高等数学的学习和研究中，我们常常可以见到“数”与“形”互相转化的方法，其途径或者是将“形”转化为“数”，或者是将“数”转化为“形”.例如，用几何图形来解决代数或三角函数问题，就很好地运用了将“数”转化为“形”的方法.

（二）将复杂问题转化为简单问题实现化归

在概念发展的阶段，一般都是从简单到复杂，从低级到高级.而化归思想在高等数学的运用中往往就是将复杂的问题简单化，以便于解决.例如，运用重要极限的基本形式来解决极限函数的问题就是运用变数代换将复杂的问题简单化；同样，也可以用极坐标系来解决直角坐标系的问题.这些都是运用化归的思想将复杂的问题简单化，从而达到解决问题的目的.

（三）通过高维向低维转化进行化归

高维转化为低维是高等数学中一种很常见的解决问题的办法，主要有三种方式：第一，将高次转为低次.第二，将二元转为一元.第三，将空间的问题转化到平面去解决.通过一系列的转化，高维的问题就变成了低维的问题，通过低维的方法和知识就可以很好地解决这些原本复杂的问题了.

在高等数学的学习和研究中，笔者发现有三部分内容很好地展现了这种化归的思想.第一，在多元函数的运算中经常运用到，例如，面积分、极限、重积分等，通过转化，最终都能运用一元函数的方法来解决这些问题.第二，高阶微分方程的解题过程都是通过转化为一阶微分方程来解决的.第三，将空间图形转化为多个平面图形，再分步解决.

（四）通过构造数学模型进行化归

通过构造数学的模型来解决数学问题中化归思想起到了很大的作用，并且在实际的解题过程中，量与量之间关系复杂，且问题纷繁复杂.我们在解决高等数学题的过程中，可以通过建立数学模型，将无法解决的复杂的问题转化为一个一个的已知的数学题，再从中寻求解题的方法.例如，运用函数y=f（x）的最大值与最小值来求解实际问题中我们常遇到的最大值和最小值；函数的导数作为求变化率的一种数学模型也常被运用来解决变速运动中的瞬时速度或者曲线的切线斜率，以及电流强度等问题.

二、利用化归优化学生的认知结构

（一）揭示知识内在联系，掌握知识内在结构

在数学的化归思想中，主要是运用同化或者顺应，运用原有的认识结构与新的数学知识之间的联系，让新的数学知识去适应已有的认识结构，从而实现问题的转化.因此，数学老师在教学的过程中，要充分利用化归的方法，引导学生掌握教学中各知识点之间的联系，不仅可以让学生在解题的过程中将知识进行简化，同时，又非溃有利于学生对新知识的学习.比如，针对高等数学中的积分这个知识点，老师就要让学生明白，几乎所有的积分问题都是通过转为定积分来求解，那学生掌握了这一基本的解决思路，以后在学习的过程中，也就知识类似的题型如何通过转化来解决了.

（二）把握学生现有认知结构，从教材的呈现程序方面促进化归

数学学习基本上都是从学生的已知知识结构出发去构建新的知识.因此，老师在教学时，一定要先对学生的现有知识结构作一个很好的了解，同时，对学生学习新知识的观念也要了解，如果学生对这种基础的知识和观念欠缺的情况下，老师要给予补充或者复习，然后，老师在新知识与学生已有知识之间建立联系，实现新旧知识之间的顺接和化归.比如，如果老师要讲多元函数的求导法则，必须先将学生以前学过的一元函数的求导法则进行复习，同时，也要对基本初等函数的求导法则和导数的四则运算，以及在多元函数的求导法则中会涉入到的复合函数的求导法则一一进行复习，在此基础上，再给学生讲多元函数的求导法则，那学生的知识结构之间的顺接就会非常顺畅.

当然，在知识的联系中，不仅有纵向的，也有横向的，章节之间的联系也非常重要.因此，老师在教学的过程中，不仅要让学生看到相关课题之间的内在联系，也要将数学不同章节内容之间的共同点给学生进行指导，这样，不仅有利于学生建立已有知识结构之间的联系，而且对学生实现已有知识向新知识之间的转化起到了非常重要的作用.

结束语

综上所述，数学的化归思想是解决数学问题非常重要的一种方法，不仅有利于老师在教学的过程中实现各知识点之间的转化和渗透，同时，也非常有利于构建学生已有认识结构与新知识之间的联系，从而达到优化学生认识结构的目的，并且在实际的运用中起到了良好的效果.此外，化归思想在高等数学中的运用，对于培养学生的创造思维力、思维的敏捷能力和逻辑思维能力都具有非常重要的作用.

【参考文献】

[1]舍丽琴，杨宏林.高等数学教学法探讨[J].大学数学，2004（4）.

[2]蒋亦东.化归方法对构建数学认知结构的作用及教学对策[J].杭州师范学院学报，2007（6）.