一题多变 立足基础

潘益娟

摘 要：一次函数是初中学生学习函数的第一个阶段，其基础性和重要性不言而喻，中考对函数的考查属重头戏，对一次函数的考查十分关注.通过一题多变把一次函数的有关基础知识横纵向联系，把以前学习的方程（组）、不等式（组）等统一起来认识，逐步达到新旧知识的融会贯通，从而进一步体会一次函数的重要性，通过一题多变能更全面、更快捷地掌握知识和技能.

关键词：一次函数；一题多变；轻负高质

一次函数是初中函数的一个重点，也是近几年中考的热点，很多学生刚涉及函数会觉得它抽象、枯燥无味，所以培养学生学习函数的兴趣是取得成功的前提.而多进行一些函数一题多变训练是培养学生学习函数兴趣的重要途径之一.我们不能让学生沉浸于“题海战术”，一个原因是花费时间，且加重了学生的学业负担；另一个原因是重复低效，这样大部分学生的思维就会变得狭隘，学习起来就只能是知其一，不知其二，不懂变通，只要题目稍有变化就会感到很迷茫，不知怎么下手解答.所以一定要精选题目，特别是那些一题多变题，通过一题多变题的训练可以使所学的知识紧密联系在一起，进而达到解一道通一类，类型做多了，以后遇到相似的题目就会有熟悉感，解题方法、思路就清晰了，深入分析就可以做到举一反三，触类旁通，从而激发学生学习数学的兴趣和求知欲，培养他们的创新意识和创新能力.

一题多变一般指的是变条件、变结论、或引申、拓展、改编等.一题多变题类型很多，举不胜举，现就以“一次函数y=（2m-1）x+3-m”为例，了解怎样用一题的变式概括一次函数的基础知识点.

例题：已知函数y=（2m-1）x+3-m是一次函数，求m的取值范围.

分析：此题考查了一次函数的定义：一次函数y=kx+b中比例系数k≠0.即2m-1≠0，解得：m≠0.5.

变式1：已知函数y=（2m-1）x+3-m是正比例函数，求m的值.

分析：本题考查的是正比例函数与一次函数的区别与联系.正比例函数中比例系数k≠0，b=0，则由3- m=0，解得m=3. （注意：正比例函数是特殊的一次函数）

上面变式小结：一次函数解析式y=kx+b中的比例系数k≠0千万不能忽视，如果k=0，那么y=b就不是一次函数.当k≠0，b=0 时，函数y=kx是正比例函数，它是特殊的一次函数.

变式2：已知一次函数y=（2m-1）x+3-m的图象过点（1，1），求m的值.

分析：此题考查一次函数解析式与点的坐标之间的对应关系.图象过点（1，1）相当于当x=1时，y=1.即（2m-1）×1+3-m =1，解得m=-1.

变式3： 已知一次函数y=（2m-1）x+3-m的图像上有A（a，b），B（c，d）两不同点，且当a>c时，有b>d；求m的取值范围.

分析：此题考查了一次函数y=kx+b图象的增减性：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.由题目已知当a>c时，b>d，说明函数值y随x的增大而增大，即2m-1>0，解得m>0.5.

变式4：已知一次函数y=（2m-1）x+3-m图象经过一、二、三象限，求m的取值范围.

分析：此题考查的是一次函数的图象性质.一次函数y=kx+b中当k>0时，一次函数的图象经过一、三象限，当k<0时，一次函数的图象经过二、四象限；当b>0时，一次函数的图象经过一、二象限，当b<0时，一次函数的图象经过三、四象限.

图象经过一、二、三象限说明k>0，b>0. 这样就将问题转化为解关于m的不等式组.从而解得0.5

再变式4：已知一次函数y=（2m-1）x+3-m图象不经过第四象限，求m的取值范围.

分析：此题咋一看跟上题一样，其实蕴含了“玄机”，学生很容易“栽跟头”.图象不经过第四象限，说明图象不但除了可能会经过一、二、三象限外，还隐含一种情况：图象只经过一、三象限，因为我们知道正比例函数也是特殊的一次函数，所以应该是

k>0，b≥0，即2m-1>0，3-m≥0，解得0.5

变式5：已知一次函数y=（2m-1）x+3-m的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围.

分析：此题考查了一次函数的图象与y轴的交点问题.与y轴的交点在负半轴，说明当x=0时，y< 0.即3-m< 0，解得m>3.

再变式5：已知一次函数y=（2m-1）x+3-m的图象与y轴交于点P，且点P到原点O的距离|OP|=2，求m的值.

分析：此题考查一次函数的图象与y轴的交点问题和两点间的距离问题.与y轴交于点P，则点P的坐标为（0，3-m），|OP|=2，说明|3-m|=2，即解得m=1或5.

上面变式总结：一次函数y=kx+b（k≠0）中，k的符号决定函数图像的增减性，b的符号决定直线与y轴的交点位置.对于函数图像过哪几个象限则跟k、b的符号都有关.

变式6：已知一次函数y=（2m-1）x+3-m的图象与直线y=-3x在同一坐标系上没有交点，求m的值.

分析：此题考查了在同一坐标系上两直线的位置关系和两直线平行所需的条件.在同一坐标系上没有交点，说明这两条直线是互相平行的；两直线平行只需一次函数中的比例系数相等，即2m-1=-3，解得m=-1.

再变式6：上题条件不变，则一次函数y=（2m-1）x+3-m的图象如何由直线y=-3x平移得到？

分析：此题考查了函数图象平移的有关性质.“左加右减，上加下减”是我们学习直线平移的“通语”，由上题可知m=-1，所以y=-3x+4，这样就可得该图象是由直线y=-3x向上平移4个单位而得到的.

上面变式小结：直线y1= k1x+b1（k1≠0）与直线y2=k 2x+b2（k2≠0），当k1=k2，b1≠b2时，它们的图像是平行关系的，可互相通过平移得到.

变式7：直线y1=（2m-1）x+3-m与直线y2=-2x+5交于点 （1，a）.

（1）求a和m的值；

（2）不解关于x，y的方程组y=（2m-1）x+3-my=-2x+5，请直接写出它的解；

（3）根据图象直接写出解关于x的不等式（2m-1）x+3-m≥-2x+5的解集；

（4）求两直线与x轴围成的三角形的面积.

分析：此题考查了一次函数与二元一次方程组、不等式（组）之间的联系.

（1）两直线交点的意义：点 （1，a）不但满足y=-2x+5，而且满足y=（2m-1）x+3-m，则可求出a=3，m=1；

（2）用函数观点解二元一次方程组：即根据交点坐标就可以写出方程组的解；

（3）利用函数图象解不等式：学习一次函数一般可利用数形结合的思想，即根据图象可得该不等式的解集是x≥1；

（4）一次函数的图象与x轴的交点问题、点的坐标与线段长之间的关系：两直线与x轴的交点分别是（-2 ，0），（2.5 ，0），它们间的距离是2.5-（-2）=4.5，然后根据三角形的面积公式可得它们所围成的面积为6.75.

上面方法小结：把一次函数求交点问题转化成解关于方程（组）、不等式（组）的问题，其实是将数学中的“形”的问题转化为“数”的问题，体现了数学数形的结合思想.比如对二元一次方程组而言，从“数”的角度来看，由二元一次方程组的解可确定两函数直线的交点坐标；从“形”的角度来看，由两条直线的交点坐标可确定二元一次方程组的解.

总之，通过对一次函数y=（2m-1）x+3-m进行多角度变式，既拓宽了学生的视野，又调动了学生的好奇心和求知欲，让学生从不同角度、不同方向加深了对一次函数基础知识的掌握，也使得让学生更全面、更快捷地掌握知识和技能，也真正达到“轻负高质”的目的.