高中数学建模应用的探究

邹青

【摘要】数学建模对提高学生数学应用意识，培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力，促进高中数学教学改革，全面推进高中数学教育具有重要作用。本文探讨了如何在日常教学中开展高中数学建模的方法，以期将使数学建模在高中阶段更容易开展，使学生更容易体会到数学的应用性，从而更好地将数学数学以致用。

【关键词】数学建模 高中数学 应用

1 引言

现代经济社会，信息技术高速发展，促使了数学和数学应用取得巨大的成功，数学几乎渗透到了社会的每一个领域和学科，发挥了实质性的作用。任何一门学科走向科学的过程都是形式化、符号化、建立数学模型和实验模型的过程。不同学科构建符合自身研究对象特性的形式、符号和数学模型的方法，就是这门学科特有的思维方法和工作方法。新一轮的课程改革非常关注数学应用，而数学建模无疑是最能体现数学的应用性。数学建模是运用数学思想，方法和知识解决实际问题的过程，强调与社会自然和生活实际的联系，推动学生关心现实，了解社会，解读自然，体验人生。整个建模的过程充满了思考、调研、试探、操作以及实验，对学生有着非常大的综合性挑战和强烈的鞭策。

2 高中数学建模简述

数学模型是一种抽象的模拟，它用数学符号、数学公式、程序、图和表等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是现实世界的简化而本质的描述。数学模型是为一定目的，对部分现实世界而做出的抽象的、简化的数学结构。数学模型不是对现实系统的简单的模拟，它是人们用以认识现实系统和解决实际问题的工具。数学模型是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳以及翻译的结果，它使用数学语言精确地表达了对象的内在特征，通过数学上的演绎推理和分析求解，使得我们可以深化对所研究的实际问题的认识。

数学建模是一种数学解决实际问题的一般性思考方法。从科学、工程、经济、管理等角度看，数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象和简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学工具。数学建模的一般步骤为：

1）准备：考虑问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料，分析问题所涉及的量的关系，弄清其对象的本质特征；

2）假设：根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言进行假设，选择有关键作用的变量和主要因素；

3）建模：根据模型假设，着手建立数学模型，利用适当的数学工具，建立各个量间的定量或定性关系，初步形成数学模型，尽量采用简单的数学工具；

4）求模：运用数学知识和方法求解数学模型，得到数学结论；

5）检验：把求得的数学结论回归到实际问题中去检验，判断其真伪，是否可靠，必要时给予修正。

高中数学建模具有其独特的特点，数学建模不一定有唯一正确的答案，对同一个实际问题，不同的人却可能建立起完全不同的模型而都符合实际问题的基本要求。数学建模没有统一的方法，面对一个实际问题，学生可以任意选定建模方法，因此应该向学生说清楚常用的建模方法，譬如机理分析法、测试分析法、拟合法等。高中数学所建模型还具有逼真性、可行性、渐进性和可转移性的特点，建模时不必追求模型的完美无缺而只要符合实际问题的基本要求即可，建模会出现反复几次建模过程，包括由简到繁，也包括由繁到简，所建模型完全可能转移到另外的领域中去。

3 高中数学建模的应用

形成数学建模的能力需要较长时间，虽然数学建模有基本程序，但是数学建模过程不是机械的套路，数学建模能力是伴随着数学建模学习和实践活动逐渐形成的，是伴随着对数学的理解和感悟的加深、用数学的意识的增强、综合知识的拓宽逐渐提高的。教师可以把一些较小的数学建模等应用问题，通过把数学建模过程分解后，切入放到正常教学的局部环节上去做，而且经常这样做我们可以用“化整为零”、“细水长流”来描述这种做法。比如在新知识的引入、复习课时，可以用一点时间穿插介绍一个数学应用或数学建模的问题，让学生在课堂上通过讨论仅仅完成“问题数学化”的过程。

切入的内容应该和正常的教学内容、教材的要求比较接近，以便于学生的理解和对教材知识的掌握，如现实生活中普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题；现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失等问题中涉及的有关数量问题，常归结为不等式问题。限于篇幅举个简单的例子如下：

汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，该段距离一般称之为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要因素。在一个限速40km/h以内的弯道上，A、B两辆汽车相向而行发现情况不对，同时刹车但还是碰车了，事发后现场测得A车的刹车距离略超过12m，B车的刹车距离略超过10m，又知A、B两种车型刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：

，

问超速行驶应负主要责任的是谁？

分析思路：要弄清主要责任者需分析行驶速度，要弄清速度问题，就要运用刹车距离函数和实测数据，构建一元二次不等式，即建立数学模型。

，

分别求解不等式，得 （舍）， （舍），经比较，易知乙车超过限速，应负主要责任。学生在教学中熟悉了数学建模，认识到数学的应用性。教师也可以自己根据所教的内容，结合自己的知识领域，收集并设计一些数学应用和数学建模方面的问题，用于课堂教学。

4 结语

高中数学建模有别于传统基础知识的教学，教师不是要教学生学数学，而是要引导学生用数学。高中数学建模教学案例应符合学生的学情和学力，依托已有知识基础，参考教学进度，结合社会热点和生活实际，分专题、分阶段、分层次的设计选取。建模过程中对模型的探索没有固定的模式和准则，需要合理的假设、敏锐的洞察、必要的迁移、准确的判断，需要创新能力、信息双向翻译能力、查阅资料使用技术手段能力等共同协作。数学建模为学生学习数学开启了一扇窗，让学生重新认识了数学，激发了学生学习数学的兴趣和热情，培养了学生的建模意识和建模能力，学生在自主发现、探究、解决问题的过程中有不同层次的收获，提高了数学应用的能力。

【参考文献】

[1]沈文选.简析中学数学建模的教育性质[J].当代教育论坛，2002，（10）.

[2]姜启元.数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004年.