矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法

刘艳花

摘要：本文主要介绍了矩阵可逆的一个充分必要条件即矩阵A可逆的充分必要条件是A的行列式不等于零的三种讲法，并对其进行了一定的对比分析。其中第一种讲法最为常见，很多新教师也常用，就是直接按书中顺序讲授这个充分必要条件，直接教授学生知识；而第二种讲法则是引导学生探究这个充分必要条件得来的过程，最终得到该充分必要条件；第三种讲法基于矩阵的初等变换，得到一系列矩阵可逆的充分必要条件，而该充分必要条件是前面几个充分必要条件的直接推论。这三种讲法各有优劣，可根据不同情况适当选取。

关键词：矩阵可逆；行列式；充分必要条件；讲法

中图分类号 ： O1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）09（B）-0000-00

不论是在线性代数的教学中还是高等代数的教学中，矩阵的相关内容都是十分重要的。而其中矩阵可逆的部分又是要重点讲授的，因为逆矩阵在讨论研究矩阵问题时有重要作用。在矩阵可逆的这部分内容中，矩阵可逆及逆矩阵的定义是必然要介绍的，而矩阵可逆的条件中有一个充分必要条件即一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零是一定会讲授的，也是应用较多的，因此要求同学们一定理解掌握。

而就这一个充分必要条件不同的教师有不同的讲法，本文根据自己的体会，介绍了这一个充分必要条件的三种讲法并进行了一定的对比分析。

第一种讲法是非常常见的，很多教师都采用，特别是刚开始教线性代数的新教师。我在第一次教这部分时也用的是这种讲法。首先介绍了矩阵可逆的定义[1]，即设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E是n阶单位矩阵 ），则称方阵A是可逆的，而B称为A的逆矩阵。在同学们知道理解了矩阵可逆及逆矩阵概念后，就引入介绍矩阵可逆的条件，我们主要介绍矩阵可逆的一个常用的充分必要条件。而为了介绍这个充分必要条件，首先需要介绍一个相关的内容，那就是伴随矩阵的相关概念[2]。对于伴随矩阵首先介绍伴随矩阵的定义：

设矩阵A，则称矩阵为A的伴随矩阵，其中Aij 是矩阵A中元素aij的代数余子式。

接着介绍伴随矩阵的一个重要性质：

同时给出其证明：事实上，由代数余子式的性质

同理可得，所以。

这样准备工作已做好，就来讲最重要的矩阵可逆的充分必要条件。

定理（矩阵可逆的充分必要条件）矩阵A可逆的充分必要条件是，且。

证明：（必要性）若，且，则，故A可逆且。

（充分性）若A可逆，，那么，因此。

以上是第一种讲法的基本过程，当然这其中还有很多教师的引导讲解，这里未体现。但这种讲法的讲授思路和顺序基本按照教材中给出的顺序来讲，其实就是直接教授给学生们概念和结论，让学生们去理解应用，缺乏探究这些结论的过程。而第二种讲法恰恰是由矩阵可逆的定义出发按照正常的推理过程得到了矩阵可逆的充分必要条件。

第二种讲法首先仍是介绍矩阵可逆的定义，接着就探究矩阵可逆的充分必要条件。探究过程如下：

由矩阵可逆的定义，要想方阵A可逆，首先得找出同阶方阵B，使得AB=E，再看BA是否也等于E。那么我们假设A=，B=，那么由矩阵乘法，AB的第i行第j列（i，j=1，2，…，n）元素应该是

（1）

此时引导学生从已有知识中寻找与该问题类似或相关的内容来解决现在的问题。

（1） 式与我们之前学过的

（2）

（其中Aij 是矩阵A中元素aij的代数余子式）类似。

对照上两式可发现它们相差无几，那么由矩阵乘法，（2）式也可看成是矩阵A与另一个矩阵乘积的第i行第j列元素。

若令该矩阵为D，则易知D是这样的一个矩阵

那么由（2）式易得

还可验证（学生计算验证），即

（3）

该式与定义中AB=BA=E相差不多，只是单位矩阵前多了detA这样一个数。

那么若，由（3）式及矩阵的数乘运算可得。

因此由矩阵可逆的定义，A可逆，是A的逆矩阵，即，则AB=BA=E。

这样我们知道当矩阵A可逆时，它的逆矩阵可由矩阵D表示，那么把由矩阵A的元素的代数余子式按一定顺序排成的矩阵D称为A的伴随矩阵，记为，即，且。

这样伴随矩阵的概念及性质很自然的就引出来了。下面就继续讨论。

由上可知，若，则A可逆且其逆矩阵是。

反过来，若A可逆，A的行列式如何？

若A可逆，，那么，因此。

那么由上面的一系列探讨可得矩阵可逆的充分必要条件：矩阵A可逆的充分必要条件是，且。

这样矩阵可逆的充分必要条件由此就推导出来，而伴随矩阵的相关概念也在其中自然的得到，学生也能知道为什么会有伴随矩阵、伴随矩阵为什么是那样组成。整个过程重在引导学生自主探究，不是直接就把知识摆在学生面前，这对学生能力的培养更符合现在教育的要求。

下面介绍第三种讲法[3]。第三种讲法不是直接得出这个矩阵可逆的充分必要条件，而是由另外的一些充分必要条件推导得出它的。这种讲法首先是在同学们知道矩阵的初等变换的基础上，接着介绍初等矩阵及初等变换与初等矩阵的关系后，开始讨论矩阵可逆的充分必要条件。首先要介绍两个引理。

引理1：设对矩阵施行一个初等变换后得到矩阵，则可逆的充分必要条件是可逆。

引理2：一个矩阵总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵，，其中是r阶单位矩阵，表示的零矩阵，r是的秩。

这两个引理在介绍时也要讲解其证明，这里省略了。

由引理2，当是一个n阶矩阵时，是一个对角矩阵。那么由这两个引理，n阶矩阵是否可逆决定于对角矩阵是否可逆。然而对角矩阵是否可逆是容易看出的。当（是n阶单位矩阵）时，可逆；当时，不可逆。

由此得到矩阵可逆的充分必要条件1：n阶矩阵可逆的充分必要条件是可通过初等变换化为单位矩阵。

由充分必要条件1可得到充分必要条件2。

矩阵可逆的充分必要条件2：n阶矩阵可逆的充分必要条件是可写成初等矩阵的乘积。

这里可以证明充分必要条件2。

事实上，由充分必要条件1，n阶矩阵可逆的充分必要条件是可通过初等变换化为单位矩阵。而可通过初等变换化为单位矩阵的充分必要条件是存在初等矩阵，使得。因为初等矩阵都可逆且其逆矩阵仍是初等矩阵，那么上式可写为

这样证明了矩阵可逆的充分必要条件2

由矩阵可逆的充分必要条件1和初等变换不改变矩阵的秩可得矩阵可逆的充分必要条件3。

矩阵可逆的充分必要条件3：n阶矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的秩等于n。

由秩的定义我们知道n阶矩阵的秩等于n的充分必要条件是的行列式不等于零即。所以由此立刻可得矩阵可逆的充分必要条件4。

矩阵可逆的充分必要条件4：n阶矩阵可逆的充分必要条件是。

以上是第三种讲法，不是直接就讨论我们所说的这个充分必要条件，而是通过前面几个充分必要条件自然推导出的。

综上，这三种讲法各有裨益。第一种讲法知识结构清晰，有利于知识的的掌握，但缺乏对知识的探究过程。相比较，第二种讲法更注重对知识学习过程的探究，应用旧知识探究新知识，且更易知整个推理过程的来龙去脉，有助于学生探究能力的培养和学习兴趣的激发。这种讲法更符合现代教学的理念。而第三种讲法是从另一个角度出发，以矩阵的初等变换为基础，得出多个矩阵可逆的充分必要条件，而我们所说的那一个是前面几个的直接推论，这是顺理成章的。

总之，同一教学内容可有多种讲法，而对于这三种讲法我们可以根据教材，学生的水平，学科要求等条件来适当选用，把这部分内容真正让学生理解掌握。

参考文献

[1]王海清，额尔敦布和.线性代数[M].呼和浩特：内蒙古大学出版社，2012.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.