利用图像直观巧记三角函数诱导公式

陈肖颖

【摘要】“奇变偶不变，符号看象限”是学习三角函数诱导公式的传统记忆方法，笔者利用图像的直观特点，帮助学生快速、准确记忆三角函数诱导公式，并能更好地理解和掌握推导过程中隐含的数学思想方法.

【关键词】诱导公式；三角函数图像；数学思想

在“三角函数诱导公式”的教学中，大多数教师都会介绍“奇变偶不变，符号看象限”的记忆方法，让学生在练题的过程中机械记忆公式，教学效果往往不尽如人意.学生最容易出现记忆混淆或“记了不知如何用”等现象.而学生在学完三角函数后，记忆最深刻的是它的图像.因此，笔者尝试利用函数图像来帮助学生理解三角函数诱导公式.

一、巧用图像直观理解三角函数诱导公式

学生学习三角函数后，能清楚记住正弦、余弦和正切函数的图像.人教社A版教材在这一节概括了六组公式，笔者用表格将公式整理如下：

1.公式Ⅰ：观察函数图像，结合奇偶性的图像特征得出

在高一函数部分学生就已学习了函数奇偶性的有关知识，即在定义域内，奇函数f（-x）=-f（x）函数图像关于原点成中心对称，偶函数f（-x）=f（x）函数图像关于y轴成轴对称.根据此性质，学生从图中可知，y=sinx和y=tanx的图像关于原点成中心对称，是奇函数，则满足f（-x）=-f（x）；y=cosx的图像关于y轴成轴对称，是偶函数，则满足f（-x）=f（x）.通过观察图像特征，分析函数的奇偶性，得出公式Ⅰ.

2.公式Ⅲ：利用函数的对称性和周期性，直接观察图像得出

要得出公式Ⅲ，可探究当x=π-α时，y=sinx，y=cosx，y=tanx的函数值.既然是三角函数，则角与其函数值是一一对应关系.先看正弦函数图像（图1），观察图像可发现函数图像关于x=π2对称，则sinα=sin（π-α）；而余弦函数图像（图2）是关于点π2，0对称，则cos（π-α）=-cosα.进一步探究三角函数的对称性可知正弦、余弦函数的对称轴与对称中心都有无数个.这里只需探究出诱导公式，则不赘述对称性的内容.

图 1 图 2

正切函数图像与正弦、余弦函数明显不同，正弦、余弦函数的最小正周期为2π，而正切函数的最小正周期为π.根据周期性可知tan（-α）=tan（π-α），又由公式Ⅰ知tan（-α）=-tanα，所以tan（π-α）=-tanα.从而探究出公式Ⅲ.

3.公式Ⅳ：将初中知识扩充到一般情况

在初中阶段，学生已知一角的正弦（余弦）等于其余角的余弦（正弦）.那时的余角范围仅限于0°～90°，而高中阶段的角扩充了，余角范围不仅是0°～90°了.有此基础，利用初中的定理，便可得公式Ⅳ：sin（π2-α）=cosα，cosπ2-α=sinα.

4.公式Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ：整体代换即可

仔细观察可知公式Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ与公式Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ只是符号不同，只需要将公式Ⅰ、Ⅲ和Ⅳ中的α代换成-α，再利用公式Ⅰ推导即可.例如：将公式Ⅲsin（π-α）=sinα中的α代换成-α，即sinπ--α=sin-α，化简为sin（π+α）=sin-α，再利用公式Ⅰ可得sin（π+α）=-sinα.

二、利用图像帮助理解诱导公式的过程中渗透的数学思想方法

1.数形结合思想

华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.利用学生已记住的图像来推导公式是数形结合的有效应用.正如公式推导过程中，直接利用三角函数图像的特性，学生通过观察即可得出.学生在掌握函数奇偶性的图像特征后，通过图像进行诱导公式的推导，更加直观快捷.笔者在教学过程中发现很多高中生连初中特殊角度的三角函数值没记住，死记公式容易记混淆，特别是30°和60°的正、余弦值，学生总记不清哪个是12、哪个是32.笔者介绍一种巧妙的记忆方法，前提是学生已记住了正、余弦函数的图像.通过观察图像，x从0开始向右增大，正弦函数图像逐渐上升，余弦函数图像逐渐下降，可知30°、45°和60°的正弦值的分子的根号下分别是1、2、3，而30°、45°和60°的余弦值的分子的根号下分别是3、2、1.有教师会觉得此法略死板，但是学生利用此法能快速记住函数值，且不会混淆，在之后解题中巩固加深印象，自然就能灵活运用.此方法实质是利用函数的单调性，教材上函数单调性也是利用图像观察总结而得.运用数形结合，将烦琐的公式推导过程转化为有趣的图像识别过程，化繁为简.

2.化归思想

在数学问题中，将未解决的问题化归为已解决的是化归思想中的重要方法.利用图像来推导公式，将问题转化为已学过的知识.例如通过观察图像，联系函数的奇偶性、对称性等性质得出诱导公式，更为典型的是直接利用之前推导出来的公式，将公式中的α代换成-α.化归思想能将抽象含糊的问题变得直观明朗.这样推导公式，有效地避免死记硬背公式的弊端，锻炼了学生的数学思维，提高解题能力.

3.从特殊到一般的思想

三角函数是函数中的特殊函数，它具备一般函数具有的性质.通过观察图像，分析其奇偶性等，得出公式，这是由一般函数到三角函数的推导.如将初中的知识推广，掌握初中的定理：一个角的正弦（余弦）等于其余角的余弦（正弦），将此特殊推广到一般，得诱导公式.

运用函数图像来帮助理解和记忆三角函数诱导公式，不仅形象直观，且把之前学过的知识充分利用，形成一个螺旋上升的数学知识认知结构.初中关于特殊角的正余弦值的知识、高一关于函数的有关性质的知识，这些知识刚接触和学习的时候学生都能记住和掌握，过了一段时间就“忘记”了，需要重复温习.通过本文的方法不仅能更容易理解诱导公式，还能进一步掌握学过的知识，一举两得.

【参考文献】

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