高等代数教学的线与面

钟梅

【摘要】从两个角度探讨了高等代数的教学：一个角度是问题提出及问题解决的线索，另一个角度是知识结构、研究工具及数学思想方法等层面.

【关键词】 高等代数；教学；线索；层面

高等代数是数学专业的一门主干基础课程，它对学生抽象能力、逻辑推理能力的培养，以及后继课程的学习，甚或提高学生的素质与能力都起着非常重要的作用.而学好高等代数首先环节就是要掌握好高等代数的基本理论及研究问题的基本线索和基本方法.

高等代数的教学一般是按一定的章节顺序进行，学生会关注每个知识点，但对前后知识点的相互联系、相互渗透、相互作用关注不够、体会不深，形成的知识体系是点状的，这样的教学不利于学生深入理解高等代数的内容.因此，高等代数教学还应通过教学的各个环节引导学生线状和面状地学习高等代数，这样有利于学生宏观深入地理解高等代数的理论，形成合理完善的知识体系.

一、高等代数教学的一些线索

当代美国数学家P.R.Halmos说“问题是数学的心脏”，因而数学的真正的组成部分是问题和解.正因如此，任何一门数学课程的教学离不开“问题”和“解”.荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来.在高等代数教学中，我们可通过“问题”及“问题解决”的线索引导激励学生自己形成高等代数的一些基本思想，发现高等代数理论中的一些关系，而不是把已有的结论强加给他们；利用“问题”的提出和“问题解决”的基本方法引导学生更关注思维和推理，而不是死记硬背一些固有的结论.这样的高等代数学习才能是鲜活的、有效的.

高等代数的每一章每一节都在讨论问题解决问题，教师可根据具体内容设计问题提出和问题解决的大致线索，下面就某一些具体章节举例说明.

1.问题提出的线索

文[1]中第四章线性方程组讨论的主要问题是线性方程组有解的判定，有解时解的求法及解的表示，问题提出的线索可简单表示如下：

2.问题解决的线索

文[1]中第四章线性方程组的问题解决的线索概括如下：

线性方程组

增广矩阵行初等变换行阶梯阵秩若判定有解，继续行初等变换 行最简形

解的一般表示

文[1]中第六章向量空间主要从三个层次探讨了向量空间的结构：第一个层次是利用基，指出了任意一个向量空间的结构由它的一个基决定.而维数对研究有限维向量空间的结构起着极其重要的作用.第二个层次是利用子空间及其直和来刻画向量空间的结构.第三个层次是利用同构来刻画向量空间的结构，得到了任何n维向量空间与Fn同构的结论.上述内容可简单概括如下：

大量实例抽象出向量空间定义基、维数、坐标向量空间的结构子空间向量空间的结构同构向量空间的结构

以上讨论的“问题的线索”和“问题解决的线索”可以帮助学生了解高等代数知识发生、发展的脉络，学习一些探究问题的基本思路和方法.

二、高等代数教学的一些层面

虽然高等代数的教学是按一定的章节顺序一个知识点一个知识点地进行，但高等代数这门课程的内容不是零散的知识点的简单组合，而是有着严密逻辑关系的知识结构、方法结构.所以教师要做到整体备课，注意挖掘知识系统纵横联系，以帮助学生建立合理的知识结构、方法结构.

1.内容结构层面

高等代数的整个内容大致可分为两大部分：一部分是多项式理论，一部分是线性代数，在学习之初，根据教材的安排对这些做一简单概括.随着学习的深入，设法在学生的脑中逐步形成一些内容层面图，这些层面图包含主要的知识点及其之间的联系.例如下两个层面图：

上面第一个层面图有利于学生较全面清晰地认识线性方程组、矩阵及向量空间Fn之间的联系和作用.而第二个层面图有利于学生整体直观地认识把握线性代数的主要内容.

2.宏观研究工具层面

高等代数的研究对象是离散的演算系统，主要工具是矩阵.特别是在高等代数的线性代数部分，矩阵的应用是最广泛的.线性方程组、向量空间、线性变换及二次型中的许多问题都可转化为矩阵问题，利用矩阵这个工具来讨论，所以许多人认为线性代数实质上是矩阵代数.这些观念有助于学生宏观地、深入地理解和认识高等代数.下面把矩阵与其他内容的一些关系概括如下：

矩阵矩阵的初等变换、秩线性方程组过渡矩阵、矩阵的行（列）空间向量空间线性变换的矩阵、相似矩阵线性变换对称矩阵、正交矩阵欧氏空间合同矩阵、正定矩阵二次型

3.数学思想方法层面

一个好高等代数教师不但要善于传授课本知识，还要注意引导学生发现课本知识内容后面的思想方法.这不仅有助于学生学习和掌握高等代数知识，还有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的素质.高等代数课程中体现的思想方法很多，这里不一一阐述，但典型代数研究问题的主要基本思想方法概括如下：

典型的代数思想方法空间的直和分解方法同构方法等价分类方法

高等代数教学的探讨是一个宏大的课题，这里只是从建立合理知识结构、方法结构方面做了一些基本的探讨.如何让高等代数的教学更有效、更鲜活是需要我们不断探索的.

【参考文献】

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