隐藏的线性规划

赖志新

【摘要】通过典型实例阐述七种类型隐藏的线性规划，拓宽读者各种隐藏的线性规划问题的视野。

【关键词】隐藏 不等式 最值 范围 线性规划

【中图分类号】O1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）03-0150-02

平时我们在解题中，会碰到一些与线性规划看似无关却有关的问题，即隐藏的线性规划问题。我们识破它是否涉及线性规划，就需要明确线性规划可以解决怎样的问题。当问题涉及到受两个变量限制的目标函数的值域，最值，范围，根据题意可列出有关这两个变量的不等式（即约束条件）时，就可以考虑用线性规划知识解答，下面举例说明。

一、隐藏在数列中的线性规划

在历届教学中，我发现在数列的常见问题里，几乎见不到线性规划的踪影，如果数列中夹杂有线性规划的知识在里面，同学们往往想不到。例如：等差数列{an}中，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值。分析：乍一看此题，我们看不出此题会用线性规划的知识解答，如果明白等差数列的项an与前n项和Sn都与首项a1和公差d有关，结合线性规划可以解决的问题，发现该题可列受两个变量“a1和d”限制的约束条件和目标函数，因此解答如下：设该等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则问题是求目标函数a4=a1+3d的最大值，由已知可列出关于a1和d的不等式，即S■=4a■+■d≥10S■=5a■+■d≤15，这就转化成了我们熟悉的线性规划问题。老师用线性规划知识启发学生，学生很快能豁然开朗。

二、隐藏在函数性质中的线性规划

涉及应用函数单调性、奇偶性等函数性质解决的抽象不式中若含有两个未知数，要求取值范围的问题也与这两个未知数有关，往往就是考查线性规划的问题。例： 定義在R上的函数y=f（x）是减函数且为奇函数，若s，t满足不等式f（s2-2s）≤-f（2t-t2），当1≤s≤4时，求■的取值范围。分析：本题涉及两个变量s，t，利用抽象函数的奇偶性和单调性可以脱去不等式中的“f”符号列出关于变量s，t的约束条件，而所要求取值范围的东西也是有关这两个变量s，t。已知条件中令z=■，则要求目标函数z=■的取值范围，目标函数受两个变量s，t的限制，关键看看由已知条件如何列出有关这两个变量的不等式：因为y=f（x）在R上是奇函数，所以f（s2-2s）≤-f（2t-t2）可化为f（s2-2s）≤f（t2-2t），又因为y=f（x）在R上是减函数，所以f（s2-2s）≤f（t2-2t）可化为s2-2s≥t2-2t，把它整理变形得（s+t-2）（s-t）≥0，从而得关于s，t的约束条件为s-t≥0s+t-2≥0或s-t≤0s+t-2≤0这又转化成了我们熟悉的线性规划问题。