浅谈初中阶段因式分解的常用方法

张宴锋

【摘要】：本文对初中阶段因式分解进行了归纳小结，剖析了重点、难点，并通过典型例题介绍了多种方法、技巧，以帮助学生掌握多项式的因式分解，形成方法的系统化，提高学生的解题能力。

【关键词】：多项式  因式分解  例题  方法

因式分解是人教版八年级上班册的教学内容，也是八年级下册分式约分和通分及其后面延续内容的基础，也是中考必然考察的知识点，故掌握好因式分解的方法至关重要。把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将 初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

一、提公因式法.

如多项式 am + bm + cm = m（ a + b + c ），

其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.

提公因式法是因式分解的基础方法，当拿到一个需要因式分解的多项式时，首先要观察的多项式的各项中有没有公因式，如有则提取公因式，一般提取的是最大公因式。而寻找最大公因式的方法是：取各项系数的最大公约数与各项中相同因式的最低次幂的积。提取完之后再看括号里面的多项式即上式中的（ a + b + c ）能否用其他方法继续分解因式。

二、公式法

运用公式法，即用

a2-b2= （a + b）（a - b），

a 2 ± 2ab + b 2 = （a ± b） 2 ，

a 3 ± b 3 = （ a ± b）（a 2  ab + b 2 ）

写出结果。

从以上公式可以看出，如果给出的多项式是二项多项式，且是平方差的形式则选取平方差公式a2-b2= （a + b）（a - b）进行因式分解。如果是三项多项式，式中含有平方和的形式a 2 + b 2而另外一项是两平方项底数乘积的2倍（2ab），满足上述特点的多项式采用完全平方公式a 2 ± 2ab + b 2 = （a ± b） 2 进行因式分解。

三、十字相乘法（拆分法）

（一）二次项系数为 1 的二次三项式

直接利用公式—— x 2 + （ p + q ） x + pq = （ x + p ）（ x + q ） 进行分解。

特点：（1）二次项系数是 1;（2）常数项是两个数的乘积;（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么 x 2 + （ p + q ） x + pq = （ x + p ）（ x + q ）。这就是分解因式的十字相乘法。一般而言，如果一个多项式是一个二次三项式，并且其二次项系数为1，而常数项是负数时采用拆分法进行因式分解，而不能用完全平方a 2 ± 2ab + b 2 = （a ± b） 2 进行因式分解。

例1、因式分解。x 2 -x-56。

分析：因为 x7

x-8

7x +（-8x） =-x

解：原式=（x+7）（x-8）

例2、 因式分解。x 2 -10x+16。

分析：因為   x-2

x-8

-2x+（-8x）=-10x

解：原式=（x-2）（x-8）

（二）二次项系数不为 1 的二次三项式—— ax2 + bx + c

条件：（1） a = a1 a 2;        a1       c1

（2）c=c1c2;           a2       c2

（3）b=a1c2+a2c1                 b=a1c2+a2c1

分解结果： ax2 + bx + c=（ a1 x + c1 ）（ a 2 x + c 2 ）

例3、 因式分解。6y2+19y+15

分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。

2y3

因为

3y5

9y+10y=19y

解：原式=（2y+3）（3y+5）

例4、 因式分解。14x2+3x-27

分析：因为2x3

7x-9

21x+（-18x）=3x

解：原式=（2x+3）（7x-9）

四、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例 5、分解因式： am + an + bm + bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前 两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联 系。

解：原式= （ am + an） + （bm + bn）

= a （ m + n） + b（ m + n ）   -------------每组之间还有公因式！

= （m + n）（a + b）

思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

（二）分组后能直接运用公式

例6、分解因式： x 2- y 2 + ax + ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式= （ x 2 -y 2 ） + （ ax + ay ）

= （ x + y ）（ x -y ） + a （ x + y ）

= （ x + y ）（ x -y + a ）

例7、分解因式： a2-2ab + b 2 -c2

解：原式= （a2-2ab + b 2 ） -c2

= （ a - b） 2- c 2

= （ a- b+ c）（a - b -c） 注意这两个例题的区别！

以上就是目前所学多项式因式分解的常用方法，此外还有配方法、立方和公式、立方差公式等等，方法众多不唯一，有些题目可能需要多种方法才可完成，希望大家在学习的时候根据多项式的特点灵活运用，有所帮助。