数形结合方法在高中数学中的应用

何红军

【摘要】众所周知，在我国的高中数学教程中为了让学生们更好的理解知识点以及快速的解题，在很多时候都必须进行“数形结合”.归纳的说，数形结合指的就是“数”与“形”二者之间的相互转换.通过以往大量的实践结果表明，如果在学习或者解题过程中能够有效应用“数形结合”这种思想方法能够使学生在学

习过程中获益匪浅.除此之外，“数形结合”的有效应用使代数问题能够用几何知识来诠释，从而体现出数学知识给人们带来的美感，在很大程度上将一些复杂问题简单化.鉴于此，本文将会着重阐述当前数形结合的几种普遍性应用，希望能够在今后的高中教学以及解题过程中提供一些借鉴和参考.

【关键词】高中数学；有效应用；数形结合；几何知识

总的来说，“数形结合”指的是找到数学问题给出的条件与结论之间的内在联系并且针对性的应用所学的相关数学知识点进行解题的过程.与此同时，要最大限度的利用这种结合探索的解题思路，将复杂的问题简单化，快速而又准确的解决相关问题.通常而言，数形结合包含“以形助数”“以数辅形”等数学思想方法.

一、在解析几何中的有效应用

我们从历年的数学高考题中都不可避免的会出现解析几何题目，这主要可以考察学生们对综合知识的灵活运用.为了良好的应对高考，学生在解题过程中就必须灵活多变地运用数形结合，通过这种方式来实现数与形二者之间的相互转换来找到正确的解题方法.举一个常规性的例子加以阐述：当曲线y=（4-x2）的平方根（x∈[2，2]）与直线y=（x-2）（r+4） 有两个交点时，解出实数r的取值范围.对于这个题目，显然需要首先进行绘图，通过图1可以明显的看出：（4-x2）的平方根曲线是一个半圆，y=（x-2）（r+4）是一条过点（2，4）的直线.这个时候我们就可以得出r的取值范围为5[]12，3[]4

图 1

通过上面这个题目我们可以找到类似题型的常规解题方法就是通过题目中的代数式画出图形，这样一来就很容易地抓住解题的要点所在，也就是直线与半圆相切的位置为临界点.

二、在不等式中的有效应用

同样的也是举一个典型的例子来加以说明：假设A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，且x∈A}，C={z|z=x2，且x∈A}，如果CB，解出a的取值范围.很显然，这是一个有关集合的问题，在这个时候我们首当其冲要做的就是要看清题中有哪些元素可以为我们所用，并且进一步将集合语言转化成大家所熟知的数学语言，然后再进行分析以及绘出图形，最后使用数形结合的思想找到对应的解题方法，具体如下：因为y=2x+3在[-2，a]上是一个单调增函数，所以-1≤y≤2a+3，也就是B={y|-1≤y≤2a+3}，绘制出z=x2的图形，这个函数的定义域右端点x=a可以分成多种不同的情况：（1）-2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z|a2≤z≤4}.由于CB，2a+3≥图 24，由此可以得出a≥1[]2与题目中给出的-2≤a<0不符；（2）当0≤a≤2，0≤z≤4的时候，也就是C={z|0≤z≤4}，如果CB，2a+3≥4，0≤a≤2，解得1[]2≤a≤2；（3）a>2，0≤z≤a2时，C={z|0≤z≤a2}，由于CB，所以a2≤2a+3并且a>2，解得2对于这种问题最为有效的方式就是根据解一元二次函数在区间上的值域来确定集合与之对应的取值范围，然后充分运用题目中所给出的条件将不等式加以转化.

三、在函数中的有效应用

还是举例说明：设f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，并且它们的定义域都是R.在[a，b]（a