面向教学的数学知识概述及探讨

邵贵明　熊建军

【摘要】探究面向教学的数学知识（MKT）的缘起，对MKT的成分、内涵和利用其指导教学实践作出了初步探讨和深入实际的分析.为数学师范生教育研究提供了一个有益的探索思路及方向.

【关键词】师范生；数学知识；教学实践；教学设计

【基金项目】湖北省教育厅科技项目，编号B2013137；黄冈师院数学应用与信息处理综合训练中心教研项目，黄冈师范学院数理学院sxjy201404.

自20世纪80年代以来，有关师范生面向教学的数学知识（MKT）的研究一直是人们关注的重点.在寻求有效途径去提高师范生教育的质量和专业发展的研究中，近年来国际上关于MKT的研究更是不朽的话题.但是在当前的研究中，人们关注问题的角度、研究所处的地域差异性等影响不一，导致人们获得的结论也迥然不同，故而更具有研究的价值.

1.面向教学的数学知识缘起

面向教學的数学知识是学科教学知识这一概念在数学教育领域的最新发展之一.学科知识和学科教学知识是其两大支柱.这种学科知识和学科教学法知识的划分可以回溯到一百多年前.Parr是美国当时的全国师范院校教育联合会主席，指出教学过程的分析表明在每门学科中有一种属于教学法的特殊知识.这种知识不同于学术知识.它们的不同在于目的、与事实的关系和获得方式上.Parr是撒下了学科教学知识的种子.事实上，Shulman针对当时美国教师资格认证制度的缺陷而提出的学科教学知识（PCK）的概念.这才是人们最早普遍承认这个重要概念的时候.当时美国学科教育和教师专业教育分离式的教师教育体制给教师培养带来了许多弊端，Shulman就此提出了“缺失的范式”，提出了学科教学知识的概念.这是一种使得教师与学科专家有所区别的专门知识.

Ball&Bass发展并介绍了一个综合性的术语“面向教学的数学知识”（Mathematical Knowledge for Teaching，MKT），以及Suat，Kwee，Wai&Joseph提出的数学学科教学知识（MPCK）概念.其后的众多数学教育研究中诸多关注MKT内涵和对实践的影响价值.本课题致力于师范生的教育与培养，研究整合MKT在专业技能训练或后续教育教学实践中起到有益的效果.

2.面向教学的数学知识的成分

关于MKT的研究来源于美国，人们也普遍赞同这些研究，面向教学的数学知识首先应作为学科教学知识的一部分.An，Kulman&Wu把学科教学知识定义为有效教学的知识，包括三个成分：内容知识、课程知识和教学知识.“内容知识”包括宽广的数学知识和在一定年级水平下教授的具体内容的知识.“课程知识”包括选择和运用合适的课程材料，充分理解课程和教材的目标.“教学知识”包括指导学生的思考、准备教学、掌握有效的教学模型.她们认为教学知识是最重要的.MKT更趋近于如下理解：Suat，Kwee，Wai&Joseph提出的数学学科教学知识（MPCK）概念，其结构包括四种成分：（1）教师自身对数学结构和相互关系的理解；（2）为了解释，教师拥有一系列的多样化表征的知识；（3）教师能分析数学任务对学习者认知要求的能力；（4）教师理解和采取适当措施应对儿童学习困难和错误概念的能力.我们看到人们在关注教学效果的同时，更多的是关注教学过程，达到理想效果的途径.也就是不是单一的数学专业知识本身，更多的是要面向教学的各环节，深入教育的心理过程.

3.师范生面向教学的数学知识的内涵及养成

在数学学科特定的主题下，教师必须了解知识存在于校外的教学环境，教学的数学知识本身，与其相关联的行业、社会环境，这些都是我们能利用的教学资源.我们得引导师范生善于捕捉鲜活的实例.例如海豹的睡眠问题：海豹即使在水中睡觉时也需要呼吸.马丁花了一个小时观察海豹.在他开始观察的时候，海豹正好露出水面呼吸，然后潜入水底睡觉.8分钟以后，它再次露出水面呼吸，呼吸3分钟后又一次潜入水底.马丁发现整个过程很有规律.问题：一个小时后，海豹所处的位置正好是（ ）.A.位于水底 B.浮出水面 C.呼吸 D.潜入水中.数学师范生掌握的教学资源偏少，如果自身眼界不开阔，遇到此类问题反应甚至会不及学生.多的数学师范生认为多投入教学实践就能达到理想的效果，事实上这是条单一、波折、费时又盲目的道路.因此我们如果一味地单一加强教学实践训练，更难以将教育理论的价值融合在实际中.事实上，数学师范生还是得从最根本的教育理论出发，只有自身理论水平上升到一定的高度后才能真正在实践中有深刻的主动的认识，从而自主研究发展教学.

一条可行的方案就是在见习实习等实践中同时再进行理论课教学，这时期的教学以数学教学知识为根本，依托实践中的课堂教学为线索，加强学科教学知识内涵的认识.Shulman等研究者强调表征的知识，他们认为表征的知识是学科教学知识的核心.Grossman认为学科教学知识包含四个要素：（1）教师对于任教某特定科目的信念；（2）了解学生在不同学科中某些主题的先行知识；（3）课程的知识，包括：水平课程（与各相关科目课程的联系）与垂直课程（了解学生所学过与将学的事物）；（4）教师必须熟悉对于教学某些概念或主题时，最有效的教学与表征方式，并能在适当时机运用.其中学科教学知识中应加入对课程知识的重视.

我们知道任何理论形成教育目标，然后能切实指导实践，必须经历教育者本身的潜移默化、厚积薄发的积累过程，同时仍需在不同地区的教育实践中检验修正.例如，我们已经熟知Shulman的关于美国教师资格证制度弊端的观点，实际上在我国教育现象中也有体现.毫不客气地说，我们国家的教育改革很大程度上是在步美国之后尘.同理，我国基础教育过去更多关注的是教师的教学技巧和学生学习的知识本身.现在是更多地关注面向教学与学习融合的时候了.数学师范生只有挖掘面向教学的数学知识的内涵，将之长期与教育教学实践密切交融，才有可能迅速成长，甚至要延长到职后的学习研究中.

4.基于MKT的教学技能的相关性研究

我国数学教育具有鲜明的“双基”（后发展为“四基”）特色，普遍教育者对于一线教育专家的经验津津乐道.而经验具有地域性、保时性，因人而异，甚至可能是“一个人的良药是另一个人的毒药”.如何将经验转化成具有普适性、传递性，可变通应用的理论呢？只有运用MKT的理论与实践密切结合，选择数学教学的核心活动进行分析.核心活动包括理解学生的已有认知，选择、呈现数学概念的各种表征，评估、挑选、变通教材，在多样的教学设计中做抉择，以及如何引导课堂师生的讨论等.学科教学知识能够为教师提供这些实践可循规律的“知识理解包”，复杂的实践需要灵活预见的数学问题情景，在预测、计划、实践和反思中增长关于教学的数学知识.

基于MKT相关理论的认识，教師进行教学设计，首先要明确地根据合适的教学实际情境进行数学问题或学习任务设计.教师知识研究的这种研究层面反映了教学实践的规律性与不可预测性的结合，更加贴近教学的本质特点.Ball发展了教学上有用的数学理解的概念，强调教师要具有数学的眼光和对课堂的知觉，去倾听学生的心声，预测学生学习方面的理解与困难，提出能应对学生观念和误解的有效教学策略.Ball对数学教学的研究为我们理解教师如何在教学实践中运用知识提供了例证.研究不仅仅在于了解教师本身知道什么，而最终关心的是教师将自己的所知运用到教学情境中提高学生的学习.尽管也有人认为教师的数学知识对学生的学习几乎没有表现出明显的影响关系，但更多的近期研究发现，教师在教学实践中数学知识运用的测量项目上的反映与学生的学习成绩表现出显著的正相关.这为我们进一步探索教师如何在实践中运用MKT提供了可能的前景.

在多年的教学实践中，特别是在培养引导学生参加各类教学技能大赛中，我们的领会更加深刻.周杨在第四届湖北省教学技能竞赛中获得第一名，当初自己对数学知识的教学也脱离了教学法的深加工，开始也不能把握学生对知识点理解的困难.又如在校家教中心举办的比赛中获得第一名的庞仕林同学，他的“正弦定理”一课的教学设计前后经过多次修改.这节课设计的最初，我们看到师范生设计中也注意到了数学思想方法的渗透，首先从直角三角形中的规律类比猜想到斜三角形中的正弦定理，但是数学思想方法的应用很生硬很肤浅，在其后的数学推理证明中感觉就是为了证明一个结论而证明，数学证明的本质没有展现出来.接着在解决实际问题中，设计了测量小河的宽度和比萨斜塔的塔高，引领学生用数学的眼光看待现实的问题，体现了数学的应用价值.但是这个眼光和应用之间还有很大差距，也就是闭门造车的后果，实际上并不太符合实际情景，不符合学生的认知特征.修改的教学设计是从游人测量比萨斜塔的塔高这个问题情景开始的，从解斜三角形开始课程，然后运用特殊化的思想转化到直角三角形中的规律即正弦定理的特例，再自然运用比较与类比的思想转化到斜三角形寻求一般规律.接下来就是凸显证明中的数学思维的发生发展继而形成能力，得以解决实际问题，照应文首解决比萨斜塔问题.在几次教学环节和细节的修正中更多的是将师范生的数学知识与教学法知识融会贯通起来.

5.教育反思与展望

关于教育者对学科教学知识学习和发展，各方面观点不一.范良火认为学科教学知识的发展主要在职后.有的教师认为同事之间的交流和阅读专业书刊也比较重要，而大学的学习则不重要的.顾泠阮指出在目前的中小学数学课堂上，常常发生科学性的错误.现实中的很多问题恰恰是因为对教什么没有一个清楚的认识.这两种观点针锋相对，于是有人提出要削减数学系的专业课程，增加一些教育学和心理学的课程.个人认为适当增加一些数学教育学和数学心理学的课程而不是普通的教育学和心理学是有必要的，但更有必要的是调整课程内容的目标取向.课程目标是要培养数学家还是数学教育家？两者能否并行而不悖，相育而不害呢？事实上，数学教师的数学专业知识对学生学习的影响存在一个“阈限问题”，即教师的数学知识达到某种水平后，数学知识的提升对课堂教学的影响很小.因此，我们倡导师范生充分发挥年轻有活力、学习能力强的优势，多学习学科知识，防止在职学习学科知识的机会少，效果差；多从学科本身的特点出发思考教育教学问题，对教育教学的理念根据学科本身的特点作出目的性的论述说明.积累做数学的活动经验，用教育教学理论来诠释、发展自己的面向教学的数学知识.我们期待，扎根于面向教学的数学知识的教育方式带给数学教育的新前景.

【参考文献】

[1]Ball，D.L.（1988a）.Research on teacher learning：studying how teachers knowledge changes.Action In Teacher Education，10（2）.

[2]An，S.，Kulm，G.&Wu Z.H.（2004）.The Pedagogical content knowledge of middle school Mathematics teachers in China and The U.S Journal of Mathematics Teacher Education，7.

[3]范良火.教师知识发展研究[M].上海：华东师范大学出版社，2003.