对一道说题比赛试题的探究

☉浙江省宁波市镇海中学 陈雅雅

对一道说题比赛试题的探究

☉浙江省宁波市镇海中学 陈雅雅

为了探索新高考方案下的课程改革对高中数学教师的专业要求，厚实数学教师的学科底蕴，提升一线教师对当前课程改革的适应能力，2014年12月18日在宁波举办了“浙江省高中数学第二届说题比赛”.该比赛由浙江省数学会主办，比赛形式新颖，以说题为中心，分个人赛和团体赛.6道比赛问题涵盖了函数、三角、解析几何等，简约而不简单，值得深究.本人特别对个人赛的第2题做了如下探究.

题目 在非等腰直角△ABC中，已知∠C=90°，D是 BC的一个三等分点.若cos∠BAD=，求sin∠BAC的值.

一、解法探究

该问题围绕三角形中的边角关系，可与中学教学各项内容相互联系.这样我们从不同视角进行思考，就能探索出多种解法.本题首先要解决的问题是判断点D的位置.因为三等分点有两个，故本题需分析点D的位置，讨论进行求解.特别值得注意的是，在求解过程中，将涉及AC、BC两个长度变量，但本题最终是求角，故在长度设定上固定某条线段的长度并不影响问题原意，不妨设BC=3，AC=x（x＞0），从而只引入一个变量，大大简化了计算.同时为书写方便，记∠DAC=α，∠BAD=β

1.解三角形视角

解法1：（两角和正切公式）分类讨论：（1）若CD=1，如图1，则由题意知tan（α+β）=.因为cosβ=，所以tanβ=

图1

又因为△ABC为非等腰直角三角形，所以x=1， sin∠BAC=

（2）若CD=2，则经过同（1）类似的运算，得x2-2x+6= 0，方程无解，故该情况不存在.

所以点D是BC上的靠近点C的三等分点，以下均按这种情况给出解答.

解法3：（余弦定理）在△ABD中，利用余弦定理AD2+ AB2-BD2=2AD·ABcosβ即可求解.

2.面积视角

图2

解法4：（面积转换）由S△ABD=BD·AC=AD·AB· sinβ即可求解，也可以根据S△ABC=S△ACD+S△ABD进行求解.

3.几何视角

解法5：（构造相似三角形）如图2，过点D作DM⊥AB于点M，则在Rt△ADM中，DM=ADsinβ=又△ABC∽△DBM，所以问题得解.

过点B作BM⊥AD于点M，构造△ACD和△DBM相似也可解答，过程略.

图3

4.向量视角

解法6：（向量坐标法）如图3，建立平面直角坐标系，设C（0，0），A（0，x），B（3，0），则D（1，0）

图4

5.复数视角

前面我们从不同的视角，展示了本题的多种解法，就其本质来说，主要反映的是几何和代数两大基本思想，解法8的复数视角虽方法不常规，但作为一种方法有必要了解，因为复数往往可以解决与长度、旋转角有关的问题.本题看似平常，其实内涵丰富，大有挖掘价值，美不胜收.

二、拓展探究

探究一：点D位置一般化分析

探究二：角度一般化分析

（1）∠BAD一般化.将原题中∠BAD一般化，设∠BAD=β，β∈，则按结论1的类似解法，可得以下结论.

综合结论1和结论2，可得更一般化的结论.

（2）∠C一般化.在结论3的基础上，进一步将∠C一般化，设∠C=α，α∈（0，π），D为BC边上的一点，且λ，λ∈（0，1）.下面我们将从几何角度对问题进行分析.

图5

如图5，构造△ABD的外接圆⊙O，显然点A既在⊙O上，又在直线AC上，即点A为直线AC与⊙O的交点，因此本题的多解讨论等价于分析直线AC与⊙O的交点个数.先讨论圆心O与点A在BC同侧的情况.如图5，建立直角坐标系，不妨设CB=1，∠BAD=β，则AC∶x=cotα·y，⊙O的圆心半径r=

当d≤r时，sin∠BAC有解，此时（1+λ）sinαsinβ-（1-λ）cosαcosβ≤1-λ （*），特别地，当（*）式取等号时，sin∠BAC有 唯 一 解 ， 此 时 AC=

结论4：在△ABC中，∠C=α，α∈（0，π），D为BC边上的一点，且=λ，λ∈（0，1），则（1+λ）sinαsinβ-（1-λ）cosαcosβ≤1-λ（*），（*）式取“＜”时，sin∠BAD有两解，特别地，当（*）式取等号，即cosβ=时，sin∠BAD有唯一解为

探究三：命题结构一般化分析

对原题的命题结构（条件或结论）加以互换或改造，还能得到下面一系列的变式命题.

变式1：在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点.若 cos∠BAD=则= _________.

变式2：在△ABC中，∠C=45°，D是BC上一点.若 cos∠BAD=，sin∠BAC=，则= _________.

变式3：在△ABC中，D是BC上一点.若cos∠BAD=，sin∠BAC=，求的取值范围.

值得注意的是变式1为赛题的逆命题，变式2、变式3在变式1的基础上改变了∠C，而所给的又是sin∠BAC，所以需要讨论∠BAC的多解情况，并且变式2、变式3中给出的sin∠BAC的值，正好对应了两解、一解的情形，读者可自行研究与之对应的一般情况.

变式4：在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点.若AC= 1，BD=2，求的取值范围.

对变式4加以包装，就得到经典的高考题：已知圆C的圆心在抛物线x2=2py（p＞0）上运动，且圆C过定点A（0，p），设圆C被x轴所截得的弦为MN，且|AM|=l1，|AN|=l2，求的取值范围.

三、几点感悟

（1）本题文字叙述简约，有利于学生审题和思考，多角度探究蕴含丰富的数学思想，有利于提升学生的思维品质.

（2）相对于“说课”，“说题”是一种新鲜的事物，“说题”怎么说，还是一个正在探索的问题.它是一种类似于说课的教育教研展示和讨论活动，是说课的延续和创新，是一种深层次备课后的展示.教师说题一般要说背景、解法、价值和引申拓展等.通过“说题活动”，可以促进教师对教材例题、习题和高考试题的研究，从而更有效地把握教材和高考命题的方向，发挥教材中例题、习题和高考试题的作用，提高课堂教学的针对性和有效性，促进教师专业水平的提升.

（3）波利亚认为：中学数学的首要任务是解题，解题是数学课中最有创造性的精彩华章.在平时的教学过程中，教师应教会学生做有心人，引导学生多方位、多视角地思考问题和发现问题，挖掘知识间的联系，就可以在已有问题的基础上提出新的问题，并用数学思想方法和手段加以解决，从而获得新的、有价值的结论.这样的学习对培养学生的数学思维能力、提高学生的数学解题能力、促进教师的教学水平都大有裨益.F