切中肯綮，吃准吃透，得“意”忘“形”——例谈数学教师的说课

☉江苏省锡山高级中学 陈 敏 吴宝莹

切中肯綮，吃准吃透，得“意”忘“形”
——例谈数学教师的说课

☉江苏省锡山高级中学 陈 敏 吴宝莹

说课是在备课的基础上，面对同行或专家领导，在规定的时间内，针对具体课题，采用以讲述为主的方式，系统地分析教材和学生等，并阐述自己的教学设想及理论依据的一种教研活动.说课的一般模式是：说教材—说学生—说教学目标—说教法—说教学重难点—说教学过程.说课是教师招聘、教师基本功比赛的重要环节，笔者多次担任大学毕业生的招聘说课或者在职教师的说课比赛的评委，发现多数说课者过于模式化，甚至八股化，流于形式，几乎没有研究的成分.下面从破除八股，切中肯綮；吃准课标，吃透教材；突破瓶颈，得“意”忘“形”；理解本质，走出误区等四个方面，结合实际课例阐述数学教师的说课.

一、破除八股，切中肯綮

多数教师说课过于模式化，流于形式，尤其是大学毕业生的说课，按固定的程式平均用力一说到底.在说课的一般模式中，说教学过程是关键的，要重点说，因为这里最能体现研究的成分，只有通过这一过程的分析才能看到说课者独具匠心的教学安排，它反映了教师的教学思想、教学个性与风格.也只有通过对教学过程设计的阐述，才能看到教学安排是否合理、科学和艺术.如对“等比数列的前n项和”一个老师是这样说课的：

（1）说教材：“等比数列的前n项和”是苏教版必修5第二章第三节的第三课时，是高中数学的重要内容，在高考中也占有重要地位.

（2）说目标：说出知识与技能；过程与方法；情感、态度、价值观三个方面的目标，尤其情感、态度、价值观就是贴标签，很是牵强附会.

（3）说教材的重点难点：重点等比数列的前n项和公式，难点是公式的推导方法.

（4）说学生：说学生年龄特点、说学生的知识经验、说学生的技能态度.

（5）说教法与手段：启发探究法、多媒体辅助教学等.

（6）说教学过程：按教材上的“错位相减法”推出等比数列的前n项和公式.

这种说课各个环节平均用力，重点内容（说教学过程）不突出，体现不出说课者对教材的理解与研究，而这一点恰恰是评委重点关注的，这种说课水平就很一般，相比较，下面的说课就明显高出一个层次.

简明扼要地说明教材、学生、教学目标、教法、重难点后，直入主题——说教学过程.

用古印度国王与国际象棋的故事或折纸游戏创设情境，激发学生的好奇心和求知欲，引入等比数列的前n项和，接下来自然地就需要研究等比数列的前n项和的求法.设等比数列｛an｝的首相为a1，公比为q，则其前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1（鄢），观察该式的特点有以下几种思考方法.

思考一：像教材那样在（鄢）式的两边同乘以公比q，再错位相减，即可得到，当q=1时，S=

nna1.

n1

如果有上述对教材内容的思考与研究，这样的说课远比流于程式，每一项都泛泛而谈要深入得多！破除八股、切中肯綮才算优秀等级的说课.

二、吃准课标，吃透教材

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）是由教育部制订的纲要性文件，从课程基本理念、设计思路、内容标准、实施建议（教学、评价、教材编写）等方面进行了阐述．它是教材编写、教学组织、考试评价的重要依据，是课程改革实践的方向．教材是《课标》精神的载体，是外显的教学资源.只有吃准《课标》精神，吃透教材设计意图，尤其注意挖掘出教材在学生数学逻辑思维能力的提高、理性精神及数学素养的培养方面的教育教学功能，才能“说出”好课.下面以“椭圆的标准方程”为例加以说明.

较高层次的高中数学课程目标是使学生逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义.［1］对于圆锥曲线《课标》的要求是了解圆锥曲线的发展历史及其实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

“椭圆的标准方程”是解析几何中圆锥曲线的起始课，多次被选为省市评优课的课题.新教材的设计思路遵循了椭圆的这样一段发展的历史：公元前3世纪，阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262年～约公元前190年）在《圆锥曲线论》中采用平面截对顶的圆锥得到椭圆，并由多个命题导出椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质.17世纪荷兰数学家舒腾（F.van.Schooten，1615~ 1660）利用椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质，给出椭圆的画法.直到1822年比利时数学家旦德林（G．P. Dandelin，1794～1847）利用双球模型总结出椭圆的定义.新教材中第二节课才是椭圆的标准方程的推导，但在实际教学中（包括省市评优课），由于大部分老师不习惯新教材的设计思路，往往还是沿袭旧教材的做法，把椭圆的标准方程和椭圆的定义放在一节课上，报刊杂志上发表的相关文章大多也是把椭圆的标准方程和椭圆的定义放在一起的，下面就谈一谈遵循《课标》精神，按照新教材的设计思路，基于椭圆发展历史的“椭圆的标准方程”的说课.［2］

1.形成认知冲突，驱动探求欲望

17世纪荷兰数学家舒腾的椭圆的画法（基于两个焦半径之和等于常数）是在的把圆压扁变成“椭圆”之后总结出来的，教师用几何画板再现这一历史过程，直观地可以看出圆压扁后的曲线上任一点到两个定点F1、F2的距离的和始终等于同一个常数（大于F1F2），根据椭圆的定义，圆压扁后的曲线应当是椭圆.但这只是几何直观验证，有失严谨性，需要代数意义上的严格证明.那又如何证明呢？现有的知识解决不了，这就引起认知冲突，驱动学生进一步探求的欲望，引导学生用代数的方法研究几何问题，这恰恰是解析几何的本质特征！联想类比圆的研究过程，为了研究圆的性质，就要建立圆的方程，而圆的方程实际上就是圆上任一点的坐标（x，y）中x，y的关系，坐标是存在于坐标系中的，所以首先要建立坐标系.于是求曲线方程的一般步骤就自然浮出水面：建系→设点→列式→化简→证明.然后按照上述步骤推导椭圆的标准方程，直入本节的重点与难点.

2.教学中“突兀点”的处理

图1

数学教学追求合理顺畅.数学概念的合理性、数学公式的来龙去脉、为什么要引入某个参数、怎样引入才不显“突兀”、怎样引入才顺接学生认知的“最近发展区”等这些问题都值得我们注意.一方面，通过计算机模拟将圆压扁成椭圆的演示（如图1，圆心一分为二，两条重叠的半径MF分裂成两条焦半径MF1，MF2），为学生建立椭圆方程时2a的引入作了认识上的准备，这要比教材中直接设出|MF1|+ |MF2|=2a要自然的多，避免了这个“突兀点”.另一方面，如图2，当点M运动到椭圆的上顶点时，在Rt△MOF2中，MF2=a，OF2=c，所以a2-c2=OM2，令b2=a2-c2，这里引入参数b既简化了计算，更重要的是参数b具有确切的几何意义：线段OM的长（椭圆的中心到上顶点的距离）.这样的教学就比较合理顺畅，不显突兀.

图2

3.努力提炼数学思想方法

通过引导学生参与探索活动，帮助学生提炼和应用数学知识本身所隐含的数学思想方法.

（1）转化与化归的思想.

将 |MF1|+|MF2|=2a坐 标 化 为是几何形式向代数形式的转化；将化成椭圆的标准方程是化繁为简的过程，这是转化与化归思想的应用.

（2）数形结合的思想.

通过探求椭圆的标准方程，从代数层面的严谨证明圆压扁变成的曲线是椭圆，是典型的“以数解形”，几何问题代数化.

（3）分类讨论的思想.

不能确定焦点的位置，不妨就分焦点在x轴上、y轴上两种情况讨论，是很自然的想法，也是很好的方法.当焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为由题意可知所以椭圆的标准方程为同理可判断焦点在y轴上时，不符合题意.这里用到的就是分类讨论的思想，当然教师还可以引导学生分析引起讨论的原因，为了避免讨论，可设成x2或y2项的分母不分大小的椭圆的方程为m≠n），甚至进一步设椭圆的方程为px2+qy2=1（p＞0，q＞0，p≠q），这样就有一定的灵活性，避免了讨论，大大简化了解题过程，很好地体现了数学的简洁之美，同时培养了学生精益求精的良好行为习惯.

（4）方程的思想.

实际上，上述分类讨论中用到的待定系数法就是方程的思想的应用.另外引导学生在=2a两边同乘以有理化因子得到把和看作两个未知数，然后利用方程的思想，解出其中一个，再平方化简得到椭圆的标准方程，也是方程思想的应用.

数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁.在数学课堂教学中，有意识地提炼和运用数学思想方法，值得每一个数学教师认真关注.

4.注意发展学生的数学理性思维

数学是思维的体操，这里的思维主要指理性思维.一般认为，数学理性思维主要包括三个方面.

（1）从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题（存在性、唯一性、不变性、充要性）.

（2）运用归纳抽象、演绎证明、运算求解、空间想象、直觉猜想等思维方式进行分析和思考问题.

（3）运用数学语言进行表述和交流.

其一，上文中提到的“以数解形”与“以形助数”就是从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题的具体体现.

其二，整个标准方程的推导化简过程，既是归纳抽象，又是演绎推理.尤其在教学时不拘泥于教材的椭圆标准方程的推导方法，上述有理化的方法，以及把看 成成等差数列，设经整体处理，消去参量d后，可得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.这些教学处理方法很好地培养了学生思维的灵活性与发散性.

其三，围绕标准方程的推导展开的师生、生生之间的对话，则显然是数学语言的表述和交流.所有这些，都体现了对数学理性思维的要求.

5.努力体现数学的文化价值

数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种勇于探索的精神.这种探索精神，将不断促进人类的思想解放，使人成为更完全、更丰富、更有力量的人.为此，中学数学教学必须充分发掘数学的文化教育功能.

这节课，通过引导学生推导标准方程，努力促使教学、学习、研究三者同步协调和谐发展.这一过程对于初学椭圆的学生有一定的困难，但是经过自己不畏困难的努力与探索欣赏到数学的和谐之美、简洁之美，可以帮助学生体会追求真理的艰辛，以及成功时的愉悦，以此培养学生的探索精神，逐步形成良好的个性品质，而这正是数学文化价值的真谛.

三、突破瓶颈，得“意”忘“形”

教材处理的最高境界就是在充分吃透教材根本要义的前提下，“得其意，忘其形”，不拘泥于教材内容的安排，创造性地使用教材，用教材教，而不是教教材.下面就以苏教版高中数学新课标教材必修4中“函数y= Asin（ωx+φ）的图像”为例说明.

苏教版教材对这节课的组织形式是：问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用.

在物理和工程技术的许多实际问题中，经常会遇到形如y=Asin（ωx+φ）的函数，如物体做简谐运动时，物体的位移s与时间t的关系为s=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0）.教材由实际问题引起认知需求，引入课题.

教材研究的顺序是：（1）平移变换：由y=sinx的图像如何变换得到y=sin（x+1）的图像；（2）振幅变换：由y=sinx的图像如何变换得到y=3sinx的图像；（3）周期变换：由y= sinx的图像如何变换得到y=sin2x的图像；（4）研究由y= sin2x的图像如何变换得到y=sin（2x+1）的图像.

本节课的数学具体应用是研究由y=sinx的图像如何变换得到y=3sin）的图像，教材研究函数y= Asin（ωx+φ）的图像的策略与方法是由特殊到一般、化整为零、分解难点、各个击破.这就是教材之“意”所在！

笔者在充分研究教材，“得其意”的前提下，“忘其形”，对教材的上述安排可以做以下处理：

1.平移变换：把“y=sinx→y=sin（x+1）”改为“y= sinx→y=sin）”

教材用“由函数y=sinx的图像→y=sin（x+1）的图像”作为平移变换的例子，最大的好处是，在用五点法列表时，明显地可以看出函数y=sinx的图像上点的横坐标减去1后对应于函数y=sin（x+1）的图像上的点（纵坐标不变），所以，函数y=sin（x+1）的图像可以看作是由函数y= sinx的图像上的所有的点向左平移1个单位而得到的.但是用这个例子也有其明显的缺点，就是在“五点法”作图中，函数y=sin（x+1）的五个点的横坐标分别是，不太容易准确地确定点的位置，从而图像画不好，可能会误导平移变换正确结论的形成.面试者把教材中的平移变换的例子换成“由函数y=sinx的图像→函数）的图像”就能解决了这个问题，而且从列表中也容易看出二者相应的点的横坐标之间的关系，更重要的是，这个平移变换就是本节课的数学具体应用（研究由y=sinx的图像如何变换得到y=）的图像）的其中一步，很好地体现了研究问题的连续性与整体性.

2.把教材第二步研究振幅变换与第三步研究周期变换互调

3.把教材第四步研究内容前置，使同类问题及时解决，为后面知识整合扫除障碍

四、理解本质，走出误区

误区之一：说课就是复述教案

说课稿与教案有一定的联系，但又有明显的区别，不应混为一谈.说课稿是在个人钻研教材的基础上写成的，说课稿不宜过长，时间应控制在10分钟之内为宜；教案只说“怎样教”，而说课稿重点说清“为什么要这样教”.教案是教师备课这个复杂思维过程的总结，是教师进行课堂教学的操作性方案.它重在设定教师在教学中的具体内容和行为，即体现了“教什么”、“怎么教”.说课稿侧重于有针对性的理论指导的阐述，它虽也包括教案中的精华部分，但更重要的是要体现出执教者的教学思想、教学意图和理论依据，即思维内核.简单地说，说课稿不仅要精确地说出“教”与“学”的内容，而且更重要的是要从理论和实践的结合上具体阐述“我为什么要这样教”.教案是平面的、单向的，而说课是立体的、多维的.说课稿是教案的深化、扩展与完善.

误区之二：说课就是再现上课过程

有些教师在说课过程中一直口若悬河、激动万分地给听者“上课”：讲解知识难点、分析教材、演示教具、介绍板书等，把讲给学生的东西照搬不误地拿来讲给下面就座的各位评委、同行们听.其实，如果他们准备的内容和课程安排面对的是学生，可能会是一节很成功的示范课.但说课绝不是上课，二者在对象、要求、评价标准及场合上具有实质性的区别，不能等同对待.说课是说教师的教学思路轨迹，说教学方案是如何设计出来的，设计的优胜之处在哪里，设计的依据是什么，预定要达到怎样的教学目标，这好比一项工程的可行性报告，而不是施工工程的本身.由此可见，说课是介于备课和上课之间的一种教学研究活动，对于备课是一种深化和检验，能使备课理性化，对于上课是一种更为严密的科学准备.

误区之三：说教学方法太过笼统，说学习方法有失规范

“教学设计和学法指导”是说课过程中不可缺少的一个环节，有些教师在该环节中多一言以蔽之：我运用了启发式、直观式等教学法，学生运用自主探究法、合作讨论法等.至于教师如何启发学生，怎样操作，却不见了下文.甚至有的教师把“学法指导”误解为：解答学生疑问、学生习惯养成、简单的技能训练.

误区之四：说课只说不写，“一穷二白”

有的教师在说课过程中，既无说课文字稿，也没有运用任何的辅助手段.有的教师明明说自己动手设计了多媒体课件来辅助教学，但在说课过程中，始终不见庐山真面目，让听者不禁怀疑其真实性.所以，说课教师在说课过程中可以运用一定的辅助手段：如多媒体课件的制作、实物投影仪、说课文字稿、黑板板书等，在有限的时间里向同行及评委们说清楚课，说好课.

总而言之，说课要注意避开几个常见误区，不能过于模式化，流于形式，平均用力，要有研究的成分，重点说教学过程，逐步从破除八股、切中肯綮到吃准课标、吃透教材，最后达到得“意”忘“形”、游刃有余的最高境界！

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.吴宝莹.旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学［J］.中学数学（上），2015（1）.F