两种群都有收获率的Holling-Ⅳ型系统的定性分析

王清娟

(福州大学阳光学院基础教研部， 福建 福州 350015)

两种群都有收获率的Holling-Ⅳ型系统的定性分析

王清娟

(福州大学阳光学院基础教研部， 福建 福州 350015)

研究了一类捕食者种群和食饵种群都有非常数收获率的Holling-Ⅳ型系统，分析该系统的平衡点性态,讨论极限环的不存在性、存在性条件.

Holling-Ⅳ型功能反应;定性分析;平衡点;极限环

(1)

(2)

近年来,许多学者研究Holling-Ⅳ型系统,取得很好的结论[4-6].文献[6]研究下列系统:

(3)

(4)

(5)

其中b0=a-q1E>0,b1=d+q1E>0.

1 平衡点的性态分析

根据系统(5)知:该系统的平衡点有3种情况:

显然,O(0,0)总为系统的平衡点.

令p(x)=b0-bx-cx2,则

p′(x)=-b-2cx<0(x>0)；

且p(x)=0有两个不相等的实根:

令q(x)=-b1x4+k2x2-βb1,则:

当k22-4βb12< 0时,q(x)=0无实根;

当k22-4βb12= 0时,q(x)=0有唯一正根:

当k22-4βb12> 0时,q(x)=0有两个正根:

于是系统(5)可写为:

(6)

则系统(6)的平衡点对应的Jacobian矩阵为:

定理1 (Ⅰ) 平衡点O(0,0)总为鞍点.

(Ⅳ)若k22-4βb12> 0,则

1)当x2

2)当x30)时,C(x3,y3)为稳定(不稳定)的焦点或结点.

3)当x30)时,C(x3,y3)为稳定(不稳定)的焦点或结点.D(x4,y4)为鞍点.其中：

k2=b1(x32+x42),β=x32x42,

yi= (β+xi4)p(xi)(i=3,4),

证明 (Ⅰ)系统在O(0,0)的Jacobian矩阵

其中p(0)=b0>0,q(0)=-βb1<0.则

所以O(0,0)为鞍点.

(Ⅱ)若k22-4βb12< 0,则系统在A(x2,0)处的Jacobian矩阵

其中p′(x2)<0,q(x2)<0，则

所以A(x2,0)为稳定的结点.

p(x0)>0,y0>0,q(x0)=0,

q′(x0) = -4b1x03+ 2k2x0= 0,

故B(x0,y0)为正平衡点.

系统在B(x0,y0)处的Jacobian矩阵

显然DB=0,所以B(x0,y0)为高次奇点.

(Ⅳ)若k22-4βb12> 0,则

1)当x2

2)当x3

y3>0,y4<0,p′(x2)<0,q(x2)>0,

故系统仅有一正平衡点:C(x3,y3).

此时对于平衡点A(x2,0),有

所以A(x2,0)为鞍点.

系统在C(x3,y3)处的Jacobian矩阵

则

又

所以DC>0,于是当TC<0(>0)时,C(x3,y3)为稳定(不稳定)的焦点或结点.

3)当x3

p(xi)>0,yi>0,(i=3,4).

故系统有两个正平衡点:C(x3,y3)与D(x4,y4).其中A(x2,0)是稳定的结点,证明同(Ⅱ);C(x3,y3)的性态同(Ⅳ)中的2).

系统在D(x4,y4)处的Jacobian矩阵

因为

故

所以D(x4,y4)为鞍点.证毕.

2 极限环的不存在性、存在性

定理2 当系统(5)满足下列条件之一时:

则该系统在第一象限内不存在任何闭轨线.

证明 (1)取Dulac函数B(x,y)=x-1y-1,则

令

m(x)=-6cx5-5bx4+4b0x3-2βcx-βb,

则

m′(x)=-30cx4-20bx3+12b0x2-2βc,

m″(x)=-12x(10cx2+5bx-2b0).

令g(x)=10cx2+5bx-2b0,则g(x)=0有一正根:

当0

g(x)<0,m″(x)>0;

当x>K时,有

g(x)>0,m″(x)<0.

定理3 若k22-4βb12> 0,x30,则系统(5)至少存在一个稳定的极限环.其中

yB= [(b0-bx3-cx32)(β+x24) + 2k2x22]

yC>yB,

yB-y3= (b0-bx3-cx32)(x24-x34) + 2k2x22

又

x3 0,

xy(-b1x4+k2x2-βb1)

[1]匡奕群,邱梅青. 具常数存放的非线性功能反应捕食模型的定性分析[J]. 数学的实践与认识,2007,37(15):104-109.

[3]王万雄,段永红,曹薇. 两种群都有收获率的HollingⅢ类模型的定性分析[J]. 生物数学学报,2009,24(6):674-680.

[4]RuanShigui,XiaoDongmei.Globalanalysisinapredator-preysystemwithnonmonotonicfunctionalresponse[J].SIAMJournalonAppliedMathematics, 2001, 61:1445-1472.

[5]王继华,曾宪武. 一类具有简化Holling-Ⅳ类功能反应的捕食-食饵模型的定性分析[J]. 数学杂志,2004, 24(6):701-705.

[6]张敬,芦雪娟,何延治. 一类具有Holling-Ⅳ型功能性反应捕食模型的定性分析[J].延边大学学报, 2013, 39(2):93-96.

[7]罗定军,张祥,董梅芳. 动力系统的定性与分支理论[M].北京: 科学出版社, 2001: 95-100.

(责任编辑 穆 刚)

Qualitative analysis of a predator-prey system with harvesting rate under Holling-Ⅳ functional response

WANG Qingjuan

(FoundationDepartment,SunshineCollege，FuzhouUniversity,FuzhouFujian350015，China)

A predator-prey system with non-constant harvesting rate under Holling-Ⅳ functional response is investigated. The system’s equilibrium points are analyzed. The conditions for the nonexistence and existence of limit cycle are discussed.

Holling-Ⅳ functional response; qualitative analysis; equilibrium point; limit cycle

2014-11-05

王清娟(1989—), 女, 福建莆田人, 助教, 硕士, 主要从事微分方程定性分析方面的研究.

O175.12

A

1673-8004(2015)02-0048-04