国债收益率曲线构建的案例教学研究

李 标，李晓烨

（中南财经政法大学 金融学院，湖北 武汉430073）

一、引言

国债收益率曲线不仅可为投资者提供投资的决策依据，也是货币政策和实体经济之间、基准利率和市场利率之间的桥梁，为政府发行国债和实施政策提供依据。在利率市场化不断推进的条件下，国债收益率曲线的重要性不言而喻。党的十八届三中全会中也明确提出了“需要不断健全反映市场供求关系的国债收益率曲线”，同时该内容也是金融学专业核心课程《固定收益证券》教学的重点和难点。让学生掌握收益率曲线的拟合方法更显得尤为重要。

国债收益率曲线在过去的半个多世纪中，理论和实践都有着突破性的发展，有不少的国内外学者对收益率曲线进行了研究。Nelson和Siegel（1987）提出了一种在表达式上与微分方程解非常相似，描述利率动态变化，该收益率曲线模型具有简单灵活实用的特点。朱世武和陈健恒（2003）使用Nels on-Siegel-Svensson模型利用交易所债券数据成功估计了利率期限结构。陈芳菲和沈长征(2006)使用Nelson-Siegel模型提取了水平因素、斜率因素和曲度因素并拟合国债收益率曲线，进而又对收益率曲线进行预测。郭涛等（2008）根据国债交易数据用NS模型估计收益率曲线，并分析了模型的相关经济学含义。胡志强等(2009)用NS模型拟合了国债收益率曲线，预测能力更强。陈艳等(2013)采用MATLAB拟合中国的利率期限结构曲线，对比了两个参数精度和稳定性。

在当前环境下，金融产品层出不穷，如何科学地研究固定收益类证券类产品的风险收益显得至关重要且越来越受到社会各界的重视。MATLAB语言由于具有编写简单、编程效率高、易学易懂等特点，可运用于定义国债的特征，满足不同用户计算需求，具有一定的实际意义。所以本文以案例教学的方式呈现matlab如何估计和拟合国债收益率曲线。本文第一部分为引言，第二部分介绍收益率曲线的理论和模型，第三部分基于MATLAB的案例部分，第四部分为结论。

二、国债收益率曲线的研究方法

研究拟合国家债收益率曲线的方法多种多样，主要是依据交易所或银行间市场的历史数据进行分析，提取历史数据的债券信息，并对曲线拟合和预测。在构造国债收益率曲线中，本文主要介绍直接方法、Nelson-Siegel方法以及多样式样条函数法。

（一）直接法

所谓直接方法，就是直接利用当前不同到期时间国债价格推导出到期收益率，并将计算所得的收益率进行线性联结、绘制出相应的收益率曲线图。这是一种较为简单直观的方法，假定债券各期的利息固定不变。

根据最基本的国债定价模型：

其中P为债券价格，C为各期利息，F为债券面值，y为到期收益率，n为债券年限。

（二）Nelson-Siegel模型

Ne1son-Siegel模型是NelsonC.和SiegelA.(1987)提出的一个参数拟合模型,该模型通过建立远期瞬时利率的函数,从而推导出即期利率的函数形式。与样条模型不同的是，它是对贴现函数的整条模拟,且需要估计的参数相对较少。它假设瞬时远期利率函数为：

其中f（0，t）为即期计算未来t时点的瞬间远期利率，β0、β1、β2以及τ1是待估计的参数。

根据 ，其中 是表示剩余到期限为t的连续复合利率，且t趋近于零时相当于即期利率。

即期利率函数形式为：

其中β0是当t趋于无穷时,函数的极限，故为长期因子，称做水平因子；β1是t趋于0时,极限趋向于1，故为斜率因子；β2为曲度因子；τ1是比例参数,被解释为短期利率向长期利率回转的强度,可看作一个常数项。这个方程能够产生大家所熟悉的远期利率曲线的各种形状,如单调型、水平和倒置型曲线。同时,经过后来学者的研究发现,该模型的参数都具有很明显的经济含义,使得模型本身容易被理解。

（三）Hermite插值模型

Hermite方法是数值计算领域里面函数逼近的一种重要方法,与前述样条模型和NS及其扩展模型不一样,Hermite模型并非曲线拟合模型,它只是一种插值技术。其构建利率期限结构的思路为:对解算出已知年期的即期利率,利用Hermite插值模型进行插值,得到相应的整条即期利率曲线。

Hermite插值模型具体描述如下：

Hermite插值法的到期限收益率曲线能够通过所有的样本点,对于收益率曲线的各种形态,该模型都能很好的予以反映。但该方法所需样本点需经过专门挑选,且对样本点的剩余期限有较严格的要求。对同一剩余期限,只能有一个样本点。所以,该方法的实施需要一个专门的经验丰富的团队来进行,否则很容易出现偏差。目前,中国债券登记结算公司就是采用该法进行收益率曲线的估计。

三、基于Matlab的教学案例

（一）数据选择

我国银行间债券市场在1996年成立后，我国债券市场分割成为银行间债券市场和交易所债券市场两部分。与交易所债券市场相比，前者投资主体主要是机构投资者（商业银行、保险公司、基金、证券公司、财务公司等），并且目前债券市场上最大的投资者商业银行只投资于银行间债券市场，同时市场上投资者的参与目的趋于资产配置而非资本投机，价格发现功能更强。更为重要的是，前者市场规模远大于后者。

所以选取银行间债券市场的国债债券数据，以2014年5月15日为基准。

（二）MATLAB估计收益率曲线

本小节会具体的介绍如何使用MATLAB进行收益率曲线的估计，将以案例教学的方式与读者互动。在用MATLAB估计收益率曲线之前需要对一些变量进行阐述，Settle为交割日；Maturity为到期日；CleanPrice为净价格；CouponRate为利率；Period为付息次数。

表1：债券信息

1.NS模型的实现

在MATLAB命令窗口输入Settle=repmat（datenum（'date'），[N 1]）；date表示结算日，N表示债券个数。

接着输入：Maturity=[datenum（'date1'）;datenum（'date2'）；datenum （'date3'）；datenum （'date4'）；...datenum（'dateN'）；]；date1到dateN分别表示N个债券的到期日，也就是它们的剩余期限。

再把债券的价格和利率导入，输入如下命令：CleanPrice=[100.1；100.1；100.8；96.6；103.3；96.3]；CouponRate=[0.0400；0.0425；0.0450；0.0400；0.0500；0.0425]；

在将债券包含的信息集合在一起，输入如下命令：Instruments=[Settle Maturity CleanPrice CouponRate]；

为了做图的方便，需要把的几个重要的节点找到，也就是按到期日从小到大排列，输入命令：PlottingPoints=datenum（'date1'）:180:datenum（'dateN'）；

用命令bndyield计算收益率：Yield=bndyield（CleanPrice，CouponRate，Settle，Maturity）；

用IRFunctionCurve.fitNelsonSiegel命令即可估计NS模型的收益率：NSModel=IRFunctionCurve.fitNelsonSiegel（'Zero',datenum（'date'），Instruments）；

最后作图：plot（PlottingPoints,NSModel.getParYields（PlottingPoints），'r'）；datetick（'x'）

2.样条函数的实现

用1中方法得到债券的信息后，用IRFunctionCurve.fitSmoothingSpline命令估计样条函数的信息：

SmoothingModel=IRFunctionCurve.fitSmoothingSpline('Forward'，datenum（'date'），...Instruments，@（t）1000）；

最后作图即可：plot（PlottingPoints,SmoothingModel.getParYields（PlottingPoints），'b'）；datetick（'x'）

（三）收益率曲线的拟合

本文采用第1节的数据，通过第2节MATLAB命令先后用NS模型和Hermite样条函数对收益率曲线进行拟合，即可得出模拟图。

为了更好的研究它们的拟合程度，本文对它们的拟合情况与实际的收益率进行对比，如下图1所示：

图1：拟合效果对比图

通过图1可以看出NS模型和样条函数拟合的方法还是有一定的差别，总体来看NS模型拟合的效果较好，也有部分债券的收益率拟合的不是很满意，还需要进一步研究

四、结论

本文通过实际的案例操作，实现国债收益率曲线的构建，进一步的研究我国国债的利率期限结构的变化和影响。通过研究不同到期期限的银行间国债收益率基本不难看出，随着到期期限的逐渐增加，银行间国债的收益率是逐渐增加的，即收益率曲线总体呈向上倾斜状态，说明利率期限结构流通性偏好理论适用于我国银行间国债市场。同时让学生可以通俗易懂的理解《固定收益证券》这门专业课的重点和难点，更加生动的展示给学生复杂的过程和结果。

本案例教学的还可进一步增加其他函数形式或者模型对国债收益率曲线进行构建，更加丰富其教学的内容。

（注：本文系中南财经政法大学经济管理实验教学改革项目“国债收益率曲线构建与预期理论的实证检验”，项目编号：2013066）

[1]Nelson.C.R and A.F.Siegel.Parsimoniousmodeling of yield curves[J].Journal of Business，1987，（60）：473-489.

[2]孟繁慧.MATLAB在经济数学教学中的应用[J].中国科教创新导刊,2013，（8）.

[3]林府标.浅谈Matlab数值计算与微积分教学的几点建议[J].教学教育论坛，2014，（4）.

[4]胡志强，王婷.基于Nelson-Siegel模型的国债利率期限结构预测[J].经济评论，2009，（6）.

[5]陈蔚，马骏驰，赵耀文.我国国债收益率曲线的实证研究[J].山东经济，2011，（3）.

[6]郑振龙，林海.中国市场利率期限结构的静态估计[J].武汉金融，2003，（3）.

[7]郭涛,宋德勇.中国利率期限结构的货币政策含义[J].经济研究，2008，（3）.

[8]王一鸣,李剑峰.我国债券市场收益率曲线影响因素的实证分析[J].金融研究，2005，（1）.

[9]陈艳，杨珺.基于Matlab背景下国债收益率问题探讨[J].中国外资，2013，（9）.