综合测试（满分100分）（三）

一、选择题：每小题5分，共25分.

1. 已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足PA=2PB，那么点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）

A. π B. 4π C. 8π D. 9π

2. 已知在平面直角坐标系中，A（ ，1），点B是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则 + 的最大值是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3. 圆x+ +（y+1）2= 与圆（x-sinθ）2+（y-1）2= （θ为锐角）的位置关系是（ ）

A. 相离 B. 外切

C. 内切 D. 相交

4. 以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足 =2 =2 ，则该椭圆的离心率为（ ）

A. B.

C. D.

5. 已知抛物线C：y2=8x与点M（-2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 · =0，则k的值为（ ）

A. B.

C. D. 2

二、填空题：每小题5分，共15分.

6. 若过点A（0，-1）的直线l与曲线x2+（y-3）2=12有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为________.

7. 在直线y=-2上任取一点Q，过Q作抛物线x2=4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点_______.

8. 已知A（-2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点，P是圆x2+y2+kx=0上的动点，如果M，N关于直线x-y-1=0对称，则△PAB面积的最大值是________.

三、解答题：每小题15分，共60分.

9. 已知椭圆C： + =1（a>b>0）的离心率为 ，F为椭圆的右焦点，M，N两点在椭圆C上，且 =λ （λ>0），定点A（-4，0）.

（1）求证：当λ=1时， ⊥ ；

（2）若当λ=1时，有 · = ，求椭圆C的方程.

10. 如图10，在平面直角坐标系xOy中，已知F1（-4，0），F2（4，0），A（0，8），直线y=t（0

图10

（1）当t=3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；

（2）过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C. 求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上.

11. 如图11，椭圆C1： + =1（a>b>0）的离心率为 ，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长. C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

（1）求C1，C2的方程；

（2）求证：MA⊥MB；

（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若 =λ，求λ的取值范围.

图11

12. 已知椭圆C： + =1（a>b>0）的离心率为 ，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF2的周长为4 .

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足 + =t （O为坐标原点），当 - < 时，求实数t的取值范围.