2015年高考数学模拟金卷（三）

（说明：本套试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1. 已知集合P={x1≤2x<4}，Q={yy=cosx，x∈R}，则P∩Q等于（ ）

A. [0，1） B. [0，1] C. [-1，2） D. {0，1}

2. “a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β=m，n？奂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（ ）

A. m∥n B. n⊥m C. n∥α D. n⊥α

4. 已知等差数列{an}前n项和Sn=n2-4n，其首项与公差分别为a与b，则经过（5，a）与（7，b）两点的直线的斜率为（ ）

A. - B. -2

C. D.

5. 阅读程序框图（图1），则输出的S等于（ ）

A. 40 B. 38

C. 32 D. 20

6. （理）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%. 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：

907？摇？摇966？摇？摇191？摇？摇 925？摇？摇 271？摇？摇932？摇？摇812？摇？摇458？摇？摇 569？摇 683

431？摇？摇257？摇？摇393？摇？摇 027？摇？摇 556？摇？摇488？摇？摇730？摇？摇113？摇？摇 537？摇 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）

A. 0.35？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. 0.25？摇？摇？摇？摇？摇 C. 0.20？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. 0.15

（文）林管部门在每年3·12植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测. 现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图2. 根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）

A. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐.

B. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐.

C. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐.

D. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐.

7. 设实数x，y满足x-y-2≤0，x+2y-5≥0，y-2≤0，则u= 的取值范围是？摇（ ）

A. 2， B. ， C. 2， D. ，4

8. 在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若 =λ +μ ，则λ+μ的值为（ ）

A. B. C. D. 1？摇

9. （理）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[-1，1]时， f（x）=1-x2，函数g（x）=lgx（x>0），- （x<0），则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数为（ ）

A. 5 B. 7 C. 8 D. 10

（文）若点O和点F（-2，0）分别为双曲线 -y2=1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则 · 的取值范围为（ ）

A. [3-2 ，+∞） B. [3+2 ，+∞）

C. - ，+∞ D. ，+∞

10. （理）已知点Pn（xn，yn）（n=1，2，3，…）在双曲线 - =1的右支上，F1，F2为双曲线的左、右焦点，且满足P1F2⊥F1F2，Pn+1F2=PnF1，则数列{xn}的通项公式为（ ）

A. 4n-2 B. 4n-1 C. D.

（文）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[-1，1]时， f（x）=1-x2，函数g（x）=lgx（x>0），- （x<0），则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数为（ ）

A. 5 B. 7 C. 8 D. 10

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11. 已知复数z=a+bi（其中i为虚数单位），若a≤1且b≤1，则z≤1的概率为________.

12. 已知正数组成的等差数列{an}的前10项的和为30，那么a5·a6的最大值为________.

13. （理）设a= sinxdx，则二项式a - 展开式的常数项是________.

（文）若 =- ，则log （sinθ-cosθ）的值为________.

14. 已知抛物线y2=2px（p>0）焦点F恰好是双曲线 - =1的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为________.

15. （理）用[a]表示不大于a的最大整数. 令集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和m∈N？鄢，定义f（m，k）= m ，集合A={m m∈N？鄢，k∈P}，并将集合A中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{an}. 试比较f（1，3）与a9的大小____________（用不等号连接）.

（文）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

16. （本小题满分13分）已知向量m=（ sin2x+2，cosx），n=（1，2cosx），设函数f（x）=m·n.

（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为 ，求a的值.

17. （本小题满分13分）（理）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品. 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.

（文）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分. 用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；

（2）从前5位同学中，随机地选取2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率.

18. （本小题满分13分）（理）一个四棱锥的直观图和三视图如图3和图4所示，E为侧棱PD的中点.

（1）指出几何体的主要特征（高及底的形状）；

（2）求证：PB∥平面AEC；

（3）若F为侧棱PA上的一点，且 =λ，则λ为何值时，PA⊥平面BDF？并求此时直线EC与平面BDF所成角的正弦值.

（文）如图5，在五面体ABCDEF中，AD∥BE∥CF，且AD⊥平面ABC，H为CF的中点，G为AB上的一点，AG=λAB（0<λ<1），其俯视图和侧视图分别如下.？摇

（1）试证：当λ= 时，AB⊥GH且GH∥平面DEF；

（2）对于0<λ<1的任意λ，是否总有GH∥平面DEF？若是，请予以证明；若否，请说明理由.

图5

19. （本小题满分13分）（理）设抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.

（文）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：P= x2，1≤x<4，x+ - ，x≥4.已知每生产1万件合格的元件可以赢利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元. （利润=赢利-亏损）

（1）试将该工厂每天生产这种元件的利润T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；

（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？

20. （本小题满分14分）（理）已知函数f（x）=2a2lnx-x2（常数a>0）.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）在区间（1，e2）上零点的个数（e为自然对数的底数）.

（文）同理科第19题.

21. （本小题满分14分）（理）已知等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-（t+bn）n+ bn=0（t∈R，n∈N*）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；

（3）当{bn}为等差数列时，对任意正整数k，在ak与ak+1之间插入b k个2，得到一个新数列{cn}. 设T n是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m的值.

（文）形如a bc d的式子叫做二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算a bc d·xy=ax+bycx+dy. 该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵a bc d的作用下变换成点（ax+by，cx+dy）.

（1）设点M（-2，1）在0 11 0的作用下变换成点M′，求点M′的坐标；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，点A（Sn，n）在0 11 0的作用下变换成的点A′在函数f（x）=x2+x的图象上，求an的表达式；

（3）在（2）的条件下，设bn为数列1- 的前n项的积，是否存在实数a使得不等式？摇bn