函数的图象及零点

由于函数的性质是高考命题的主线索，函数的图象是函数形的体现，所以在近几年各地的高考数学试题中都有与函数的图象相关的试题. 有的是“显性”地考查函数与图象问题，即直接考查相关函数的图象；有的是“隐性”地考查函数的图象与性质，即在题干中虽然没有明确提到函数的图象，但在解决问题的过程中必然要用到相关函数的图象. 从近几年的试题来看，一般以中等难度、题型新颖的试题综合考查.

对函数图象的复习备考要做到以下“三会”：会识图，即能由函数的图象得到函数的相关性质——这是基础；会画图，即能由函数的解析式画出其图象——这是关键；会应用，即能运用函数的图象解决问题——这是目标.

（1）在复习和应试中，要努力提高利用函数的图象解决问题的意识.

（2）熟悉基本函数的图象，掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换是迅速、准确地作出函数图象的基础.

（3）注意函数图象的几何特征与函数性质的数量特征之间的关系（如函数的定义域、值域、零点、单调性、奇偶性、周期性等性质在对应图象中的体现）.

例1 已知函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时， f（x）=-（x-1）2+1，则满足f[f（a）]=的实数a的个数为（ ）

A. 2？摇？摇？摇？摇？摇 B. 4？摇？摇？摇？摇 C. 6？摇？摇 ？摇D. 8

破解思路 不难发现满足条件的a的值“照理”都可求出来，若有这种“冲动”并付之于行动，则容易陷入繁杂的运算之中而不能自拔；由于试题只要求能求出方程解的个数就可以了，所以可利用函数的图象解决之，做到“有图有真相”，在具体操作中可作适当的估算，没有必要弄得很精细，只要能确定答案即可，做到“难得糊涂”.

答案详解 如图3，作出函数y=f（x）的图象，由图象可知方程f（x）=有四个不同的解±x1，±x2（其中0

图3

例2 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（2+x），当x∈[-2，0]时， f（x）=-1，记g（x）=f（x）-log（x+2）（其中a>0，a≠1），试讨论函数g（x）在区间（-2，6]上零点的个数.

破解思路 注意到g（x）的零点个数即为函数y=f（x）与函数y=log（x+2）的图象公共点的个数. 不难发现函数y=f（x）已唯一确定，因此可先作出其图象，再利用a的值的大小与函数y=log（x+2）的图象之间的关系讨论它们公共点的个数.

答案详解 由f（2-x）=f（2+x）可知， f（4+x）=f（-x），又因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），所以f（4+x）=f（x）.

当x∈[-2，0]时， f（x）=-1，如图4，作出函数y=f（x）的图象. 其中A（2，1），B（6，1）.

当a=4时，y=log（x+2）的图象过点A（2，1）；当a=8时，y=log（x+2）的图象过点B（6，1）.

图4

由图象可知：

①当0

②当a=4时，g（x）在区间（-2，6]上有且仅有2个零点；

③当4

④当a>8时，g（x）在区间（-2，6]上有且仅有4个零点.

1. 已知函数f（x）=x2-2，0

A. （0，2） ？摇？摇？摇？摇？摇 B. （2，4）

C. （，2）？摇？摇？摇？摇D. （2，2）

2. 已知函数f（x）=x+，x>0，x3+9，x≤0，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有6个不同的实根，则a的取值范围是（ ）

A. （2，8] B. （2，9]

C. （8，9] D. （8，9）

3. 若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为_______.