指数函数和对数函数

指数函数和对数函数是高中数学中最重要的两个基本初等函数，是各地高考数学试卷中考查函数定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、图象变换的重要载体；它也一直是高考的热点问题之一，试题难度一般不大，通常在选择题、填空题中单独考查，或作为试题的载体在解答题中出现.

熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质是解决相关问题的前提和基础，对相关的基本概念的掌握出现细小的偏差也会造成致命的错误，因此本考点的复习重点是理清指数函数、对数函数的图象和性质. 比较困难的问题是有关指数函数、对数函数的综合应用问题，因此同学们在复习本考点时，要特别注意如何利用指数函数、对数函数的图象和性质研究与之相关的简单复合函数的图象和性质.

（1）由于指数函数、对数函数的图象和性质与其底数有直接的联系，所以在具体的解题过程中要明确底数的大小，注意运用分类讨论的思想来解决问题. 由于本考点所涉及的试题通常是选择题和填空题，若能画出问题所涉及的相关函数的图象，则往往能事半功倍，所以在具体的解题过程中要熟悉图象的对称变换、平移变换、伸缩变换，通过这些变换画出相关函数的图象解决问题，即注意运用数形结合的思想. 对于以指数函数、对数函数为模型的新情景、新问题，往往可通过等价转化的方法来解决.

例1 已知函数f（x）=loga（x+1） ，-10，a≠1），若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），则x1+x2与2的大小关系是（ ）

A. 恒大于2 B. 恒小于2

C. 恒等于2 D. 与a相关

破解思路1 若令f（x1）=f（x2）=t，则x1，x2均可用a和t表示出来，所以x1+x2也可用a和t表示出来，则x1+x2与2的大小关系就“昭然若揭”了.

答案详解1 不妨设x10，a≠1时， 00恒成立，所以x1+x2>2.

破解思路2 注意到选择题的特点，用数形结合的方法往往能回避繁杂的推算过程，直达解题目标，因此也可以考虑使用这种方法解决之.

答案详解2 ①当a>1时，函数y=f（x）的图象如图6所示，若把图象在直线x=1的右侧部分向下平移a-1个单位，则整个图象恰好关于直线x=1对称，此时x1+x2=2，所以平移前必有x1+x2>2成立.

图6

图7

②当02成立.

由①②可知x1+x2>2恒成立.

例2 设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对于任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log2x]=6，若x0是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N？鄢），求a的值.

破解思路 本题的目标是求所给方程的解的取值范围，但所给的方程左边的解析式没有直接给出，所以首先要解决的问题是求出函数f（x）的解析式，从而揭开其“神秘的面纱”，再利用函数的性质估算其根的取值范围.

答案详解 令f（x）-log2x=m，则f（x）=log2x+m且f（m）=6，所以m+log2m=f（m）=6.

由于函数g（x）=x+log2x是（0，+∞）上的增函数，且g（4）=4+log24=6，所以m=4.

所以f（x）=log2x+4， f ′（x）= ， f（x）-f′（x）=4？圳log2x- =0？圳h（x）= -lnx=0.

又因为h（x）是（0，+∞）上的减函数，且h（1）=1>0，h（2）= -ln2<0，所以有x0∈（1，2），从而有a=1.

1. 函数y= 的定义域为（ ）

A. ，1

B. ，+∞

C. （1，+∞）

D. ，1∪（1，+∞）

2. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增. 若f（log2a）+flog a≤2f（1），则实数a的取值范围为________.

3. 已知函数

f（x）=（1-3a）x+10a，x≤6，ax-7，x>6，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N？鄢），且数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是（ ）

A. ，1 B. ，

C. ， D. ，1