解析几何

谈杰

本专题内容主要包含直线的方程、圆的方程、圆锥曲线的方程，直线与直线、直线与圆、圆与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的概念和性质、圆锥曲线的综合应用、与圆锥曲线有关的探索性问题，这些都是高考考查的重点内容.]

直线方程、两直线的位置关系

直线方程、两直线的位置关系在高考中出现的频率较高，考查多出现在选择题和填空题中，有时也作为解答题的一小问，主要考查求直线方程、两直线平行或垂直的条件等，有时与充要条件等知识相结合出现在选择题中.

（1）直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；过两点的直线的斜率公式. （2）求不同条件下的直线方程（点斜式、两点式及一般式等）. （3）两条直线的平行、垂直关系. （4）两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用.

（1）理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程. （2）会根据直线的特征量画直线，研究直线的性质. （3）对于两条直线的位置关系问题，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系. （4）熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离.

例1 过点P（0，1）且和A（3，3），B（5，-1）的距离相等的直线的方程是（ ）

A. y=1

B. 2x+y-1=0

C. y=1或2x+y-1=0

D. 2x+y-1=0或2x+y+1=0

破解思路 利用直线方程解决问题，要灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式，但需注意要对斜率是否存在进行讨论，避免漏解.

答案详解 ①当过点P的直线的斜率不存在时，其方程为x=0，不满足条件. ②设过点P的直线方程为y=kx+1，即kx-y+1=0. 由已知条件得 = . 即3k-2=5k+2，解得k=0或k=-2. 故所求直线方程为y=1或2x+y-1=0. 选C.

例2 已知两直线l1：x+ysinα-1=0和l2：2x·sinα+y+1=0，求α的值，使得：（1）l1∥l2； （2）l1⊥l2.

破解思路 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合. 对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，有：l1∥l2？圳k1=k2；l1⊥l2？圳k1·k2=-1. 若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.

答案详解 （1）方法1：当sinα=0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 当sinα≠0时，k =- ，k =-2sinα. 要使l1∥l2，则需- =-2sinα，即sinα=± .所以α=kπ± ，k∈Z，此时两直线的斜率相等. 故当α=kπ± ，k∈Z时，l1∥l2.

方法2：由A1B2-A2B1=0，可得2sin2α-1=0，所以sinα=± . 又B1C2-B2C1≠0，所以1+sinα≠0，即sinα≠-1. 所以α=kπ± ，k∈Z. 故当α=kπ± ，k∈Z时，l1∥l2.

（2）因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα+sinα=0，即sinα=0，所以α=kπ，k∈Z. 故当α=kπ，k∈Z时，l1⊥l2.

例3 已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）.

（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程.

破解思路 过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ∈R），过定点求直线方程，关键是找到直线的斜率或直线上的另一个点.

答案详解 （1）直线l的方程是k（x+2）+（1-y）=0，令x+2=0，1-y=0，解得x=-2，y=1.所以无论k取何值，直线l总经过定点（-2，1）.

（2）由方程知，当k≠0时直线l在x轴上的截距为- ，在y轴上的截距为1+2k，要使直线l不经过第四象限，则必有- ≤-2，1+2k≥1，解之得k>0；当k=0时，直线为y=1，符合题意.综上可知，k≥0.

（3）由l的方程，得A- ，0，B（0，1+2k）. 依题意得- <0，1+2k>0，解得k>0. 因为S= ·OA·OB= · ·1+2k= · = 4k+ +4≥ ×（2×2+4）=4，“=”成立的条件是k>0且4k= ，即k= . 所以Smin=4，此时直线l的方程为x-2y+4=0.

1. 已知直线l经过点A（1，2），其在x轴上的截距的取值范围是（-3，3），则其斜率k的取值范围是（ ）

A. -11或k<

C. k> 或k<1 D. k> 或k<-1

2. 在平面直角坐标系中，矩形OABC，O（0，0），A（2，0），C（0，1），将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（ ）

A. [0，1] B. [0，2]

C. [-1，0] D. [-2，0]

3. 如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P. 若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）

图1

A. 2 B. 1 C. D.