一道中考填空题引发的教学反思

朱伟英

【摘 要】每年中考结束，笔者总喜欢看看自己本市的数学中考题，以便把握自己以后数学教学方向及研究内容。去年（2014年）宁波市初中毕业生学业数学试卷中的第18题引起了笔者对自己数学教学的深思。

【关键词】中考题;引发;教学反思;类比;基本套路

1.题目及解答过程

题目：如图1，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB上的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为______cm2。

解：如图2作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，

∵△DBF的轴对称图形△HAG，由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合。

∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG=∠BDF=60°，∵∠ECB=60°，∴G、C、E三点共线，

∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴ = = 。在Rt△ONC中，∠OCN=60°，

∴ON=OCsin∠OCN= .OC，∵OC= OA=2，∴ON= ，∴AM=2 。∵ON⊥GE，

∴NE=GN= GE。连接OE，在Rt△ONE中，NE= = = ，

∴GE=2NE=2 ，∴S△AGE= GE·AM= ×2 ×2 =6 ，∴图中两个阴影部分的面积为6 ，故答案为：6 。

2.题目考点剖析

本题设计新颖，颇具创意。以三角形和圆作为基本图形，在简单图形中设计了极富内涵的数学问题。灵活运用了圆的轴对称性，通过翻折使两块三角形面积合二为一。让静止的图形运动起来，是解决此题的突破口。然后把求三角形的底转化为求弦问题，考查了圆中重要的垂径定理。数学的转化思想立竿见影。除此之外，本题还考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形及勾股定理。本题综合性强，突出考查考生灵活运用基础知识分析问题、解决问题的能力。

3.教学反思

3.1注重几何问题的“基本套路”的教学

数学教育的作用主要体现在开发学生的智力，锻炼学生的逻辑思维，使学生学会认识问题和解决问题的基本方法，从而提高推理能力，培养理性精神和创造力。要实现这个目标的基本途径就是使学生在认识数学的基本方法的同时，学会数学地思考和解决问题。而要达到这一点，必须把握数学地认识和解决问题的“基本套路”。解决几何问题的一个“基本套路”就是：首先要认真分析条件，而分析条件就是将条件与相关的“基本图形”结合起来，利用这个“基本图形”的性质，获得相应的结论。有时图形中不一定有与条件匹配的“基本图形”，这时还需联想相关知识作辅助线构造出相关的“基本图形”，再利用这个“基本图形”的性质，获得相应的结论，从而达到解决问题的目的。本题充分体现了数学地认识和解决几何问题的一个“基本套路”：虽然没有一目了然的“基本图形”，但只要利用圆的轴对称性，马上可以转化为平时常见的一个“基本图形”，接着就是探究圆中的弦及三角形的有关性质，问题进行了很合理化的迁移。因此平时教学中注重“套路”，构造出“问题迁移”的“基本图形”，能培养学生对数学整体认识及研究数学问题的方法和形成解决问题的一些基本策略的能力。

3.2注重几何习题的类比、变式和拓展

许多几何图形都有相同的性质，经过适当的类比，在某些图形上可得相同的结论。通过对几何图形的变形，能进一步加深对基本图形的理解，还可以了解这些图形之间的相互关系，从而找出其本质规律。变式教学是指教师在引导学生解答数学问题时，变更概念非本质的特征，变更问题的条件或结论;转换问题的形式或内容;创设实际应用的各种环境，是概念或本质不变的一种教学方式。数学变式的研究能帮助学生养成良好的质疑、多思的学习习惯，提高类比推理的思维能力和数学学习的能力。比如教师在分析这道中考题时，可以先铺设这样一道题：

1.如图，P为直径AB上的一点，点M和N在⊙O上，且∠APM=∠NPB=30°。若OP=2cm，AB=16cm，则PN+PM=_______cm。

分析：利用圆的轴对称性，找出M点的对称点M1，可得M1，P，N三点共线，然后求PN+PM转化为求弦M1N，于是用垂径定理，在半弦、半径、弦心距构成的直角三角形中解决此题。

接着安排一道变式：

2.如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为弧AB上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=_____。

分析：利用圆的中心对称性，可延长ME交⊙O于点M1，则M1E=FN，于是求EM+FN转化为求弦M1M。接下来解法同上题。

最后再搬出这道中考题。由于上两题的变式教学，让学生已潜移默化地掌握了这类题型的内在规律。就是先利用圆的对称性，把所求问题转化为与条件匹配的“基本图形”，然后利用“基本图形”的有关性质解决。有了上两题的铺垫，学生在处理这道综合性较强的题目时，也会得心应手。利用变式教学，通过对数学问题多角度，多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通关节，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔。因此，平时注重几何习题的类比、变式和拓展，不仅能使学生轻而易举地掌握各种各样的题型，而且能摆脱思维的僵化、刻板、呆滞，克服思维定势的消极影响，使学生思维敏捷，思路开阔，想象丰富，从而提高教与学的效率，更重要的是为学生今后成为创造性人才奠定了良好的基础。

（作者单位：浙江省宁波市春晓中学）