关于高中数学立体几何问题的解析方法研究

【摘 要】高中数学教学中，不可避免的接触到立体几何的学习，立体几何作为高中阶段重要的一门课程知识，不仅仅和三角运算有着紧密的联系，同时也是高考的重点难点之一。对于如何做好高中数学立体几何问题的解析方法教学始终是高中数学教学领域研究的热点之一。本文主要从函数思想对高中数学立体几何问题的解析方法作了主要的研究。

【关键词】高中数学;立体几何;问题解析方法;研究

对于高中数学立体几何而言，如何对立体几何问题有效的解析始终是学生和教师关注的问题。立体几何问题作为一种抽象化的问题，其核心主要是距离、垂直、平行以及夹角之间的关系，并依据于相关的定理和概念，对各种几何图形的不同分割加以使用，进而做好立体几何问题的解析。

一、高中数学函数思想对立体几何问题的解析

函数思想对立体几何问题进行解析的过程中，更加注重函数关系的构造，实现化难为易的目的，并借助于函数的性质和证明不等式等，做好立体几何问题的解答。如高中数学中这一例题而言：如图1所示，PA和圆O所在的平面垂直，同时圆O的直径是AB，C是圆周上的一点，若∠BAC=α，同时PA=AB=2r，对异面直线PB和AC之间的距离进行求解。

图1

在求解的过程中，首先就要对直线AC和PB之间距离进行分析，尽可能的将直线PB上任何一点到直线AC之间距离的最小值求出，并对变量进行设定对目标函数进行建立，进而将目标函数的最小值求出。首先就要在PB上将任意一点M取出，并保证MD和AC垂直于D，同时MH和AB垂直于H。假设MH=x，同时MH和平面ABC垂直，同时AC和HD垂直。

MD2=x2+[（2r-x）sinα]2

=（sin2α+1）x2-4rsin2αx+4r2sin2α

=（sin2α+1）[x-2rsin2α/1+sin2α]2+4r2sin2α/1+sin2α

MD值最小的时候，只有x=2rsin2α/1+sin2α，两异面直线的距离也即是MD的最小值。该题型在解答的过程中，主要是将两条异面直线的距离向异面直线上两点之间的距离进行转换，进而对其最小值进行求解。这种解析方法主要是对函数的性质加以利用，进而对立体几何做的一种解答。

二、高中数学空间几何思想解决立体几何中垂直和平行问题

高中数学立体几何问题解答的过程中，更要对立体几何的相关知识结构进行详细的分析，并对线和面之间的知识以及面与面平行的相关知识进行全面的分析，尽可能将其向向量之间的平行和向量共面之间的问题进行转换，进而实现一种化难为易的解答。

假设某一平面π的法向量是 ，同时直线L的方向向量为 ，而两条直线Lm和Ln的方向向量为 m和 n，其平面π1和平面π2的法向量为 1和 2，在对上述问题进行分析时，可以借助于向量之间的关系进行表示：

Lm∥Ln？圳 m∥ n？圳 n=k m，k∈R  （线线平行）

L∥π？圳 ⊥ ？圳 · =0  （线面平行）

π1∥π2？圳 1∥ 2？圳m2=k 1，k∈R  （面面平行）

对于空间几何图形的垂直关系而言，不仅仅有线与线之间的垂直，同时也存在线与面的垂直和面与面的垂直。这种向量之间的转化，主要如下所示：

线线垂直主要表现为Lm⊥Ln？圳 m⊥ n？圳 m· n=0

线面垂直主要表现为L⊥π？圳 ∥ ？圳 =k ，k∈R，（同时 和π内的两个相交直线的方向向量相互垂直）

面面垂直主要表现为π1⊥π2？圳 1⊥ 2？圳 1· 2=0

三、高中数学空间立体几何问题距离和夹角的利用解析

在高中数学空间立体几何问题求解的过程中，就要借助于距离和夹角的一些条件，进而运用向量的运算，做好高中数学空间立体几何问题的求解。

点到平面的距离：点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为 ，过点P做平面π的垂线PO，记∠OPA=θ，则点P到平面的距离

d= = cosθ=  =

假设两条直线Lm和Ln的方向向量 m和 n，设θ为两条直线之间的夹角，则cosθ=cos< m， n>= 进行确定。

假设直线L和平面上π上的投影夹角用θ表示，平面π的法向量是 ，同时直线l的方向向量为 ，则sinθ=cos< ， >= 。

同时设两平面的夹角为θ，而平面π1和平面π2的法向量为 1和 2，一旦0≤（ 1， 2）≤ ，两个平面之间的夹角为< 1， 2>，同时当（ 1， 2）> ，两个平面的夹角为π-< 1， 2>，因此也即是cosθ=cos< 1， 2>= 。

总而言之高中数学空间立体几何问题距离和夹角的利用解析的过程中，主要是借助于平面外一点到平面的距离的合理计算，并对异面直线间的距离进行计算，进而获得的一种新的求解。在对高中数学立体几何中动态问题进行解析的过程中，主要是借助于函数的思想进行解决，一旦遇到立体几何角度问题时，就要本着动态的眼光，进而对空间几何思想加以借助向量，进而使得立体几何中相对复杂的问题逐渐的简单化。

四、结语

高中数学立体几何问题作为高中教学中的重点和难点，在实际的解析中，更要借助于向量和函数之间的关系，并对几何图形中几种常见的关系进行详细的分析，对合适的空间直角坐标系加以建立，对当前我们所学的立体几何图形中的一些向量关系，进而在立体几何中将线与线和线与面之间的关系找出，最后就要正确合理的运用向量之间的关系，将相应的立体几何问题进行全面的解析。

【参考文献】

[1]刘军.无几何不数学——谈高中数学立体几何教学[J].课程教育研究，2014，（19）：151-151，152

[2]刘先祥.谈中数学立体几何教学[J].南北桥，2014，（5）：162-162

【作者简介】

赵伟婕（1971，10）浙江省宁海县，浙江省宁海县正学中学，一级教师，任教高中数学（人教版）

（作者单位：浙江省宁海县正学中学）