立足基础，着眼能力，关注发展——“因式分解”单元复习课的教学实践与思考

☉浙江省宁波市鄞州实验中学 郑晓峰

☉浙江省宁波市鄞州实验中学 蔡卫兵

立足基础，着眼能力，关注发展
——“因式分解”单元复习课的教学实践与思考

☉浙江省宁波市鄞州实验中学 郑晓峰

☉浙江省宁波市鄞州实验中学 蔡卫兵

一、教材分析

本章的主要内容有因式分解的概念、方法以及简单应用.因式分解是整式的一种重要的恒等变换，它和整式的乘法联系十分密切.因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式.因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，对学生进一步学习数学是不可缺少的基础知识和基本技能.学生在学习的过程中，利用添括号法则和整体思想解决问题的能力有所欠缺，所以在本章的复习过程中，不仅要基于学生的薄弱环节，使学生理解因式分解的知识概念、掌握因式分解的基本方法并形成一定技能，更要通过教学使学生的思维得到一定的训练和发展，努力提高学生的数学学习能力.

二、教学目标

（1）知识与技能目标：理解因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，是整式乘法的逆向变形；熟练掌握因式分解的方法和技巧；掌握运用整体思想进行因式分解.

（2）过程与方法目标：体验用提取公因式和公式法分解因式的方法，选择恰当的方法进行因式分解，能积极探索因式分解在多项式除法和解方程中的应用.

（3）情感与态度目标：体验应用知识解决问题的乐趣，培养学生良好的逆向思维，使学生形成代数意识和严谨的学习态度.

三、教学重点与难点

重点：理解因式分解的概念，掌握因式分解的常用方法并灵活应用.

难点：应用整体思想进行因式分解，并进行运用.

四、教学过程

1.情境引入，知识回顾——帮助学生建构知识体系

多媒体课件出示：（1）若a=2014，b=2013，求a2-b2的值；

（2）若a=2014，b=2013，求a2+b2-2ab的值.

师：同学们，你能解决这两个问题吗？

师：利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们就让因式分解这棵“知识大树”成长得更加茁壮，枝叶更加茂盛，请同学们先回顾完善这一棵“知识树”，用多媒体依次呈现：

评析：梳理整章知识是复习课的重要环节，指导学生学会梳理更为重要.本节课以让学生相互讨论的形式来完善“知识树”，自主梳理建构知识体系，避免了教师满堂灌的弊端，教师适当地加以点拨指导，让学生经历知识建构的过程，培养学生整理知识的能力，使零碎的知识条理化、系统化.

2.活动导引，信息重组——帮助学生辨析知识真伪

师：看来，有关因式分解的基本知识与方法，我们的同学还是记得的，不知理解程度如何？现在请大家来找茬，找出其中的错误，用红笔圈出来，并进行改正.

（1）下列从左到右的变形：①a（a-b）=a2-ab；②x2-2x+1=x（x-2）+1；③x2+1=④18a3bc=3a2b·6ac，属于因式分解的有4个.

（2）分解因式：①a3+a2+a=a（a2+a）；

②2a2b2-a3b-ab3=-ab（-2ab+a2+b2）；

③-9x2+36y2=-（9x2-36y2）=-（3x+6y）（3x-6y）；

④4x（x-y）2+x（y-x）=（x-y）［4x（x-y）+x］=（x-y）（4x2-4xy+x）；

⑤a4-2a2+1=（a2-1）2=［（a-1）2］2=（a-1）4.

学生按要求进行活动，老师巡视.

师：时间到，我看大家完成得也差不多了，下面请组长组织组内讨论，并派代表展示、讲解.（过程略）

师：很好！在刚才的活动中，同学们都表现得很出色.不但能准确圈出所有错误，给出规范解答，而且作出了合情合理的分析.那么谁能谈谈自己解因式分解题的经验或教训？

生：判定各式的变形是否是因式分解应围绕“多项式”“整式”“积的形式”等关键词.如何分解因式呢？有公因式要先提，其次按“套路”进行，即两项式——平方差公式，三项式——完全平方公式.

师：很好！值得指出的是：这个“套路”是相对的而不是绝对的，在目前这个阶段有一定的积极作用.随着学习的深入，题目与方法的丰富，需要灵活地选用方法，不能让套路“套”住了自己的思维.还要注意哪些问题呢？

生：就是做完了之后要检查.查一查：（1）分解是否彻底；（2）有无符号错误；（3）公式不要混淆.

师：我将你们所说的概括为“三个字”，即“提、套、查”.“提”：有公因式的要先提公因式；“套”：按“套路或套公式”进行；“查”：查分解是否正确、彻底，查书写是否规范.

评析：因式分解的概念是因式分解方法的理论基础，是本章的一个重要概念.对于这个概念，学生在整章的学习中是逐渐了解和逐步深化的.开始学习时，有小学时学习的因数分解作为基础知识，学生初步接受因式分解并不会感到困难，而深入了解是在学习因式分解基本方法过程中逐渐做到的.特别地，让学生感知因式分解是代数式恒等变形中的一种重要变形，必须符合特定的形式，表述规范统一，明确指出具备如下特征：①结果一定是积的形式；②每个因式必须是整式；③各因式要分解到不能再分解为止.

3.运用导引，强化提高——帮助学生提升解题智慧

例1分解因式：-2（x-5）2+32.

解法1：原式=2［16-（x-5）2］=2（4+x-5）（4-x+5）=2（x-1）（9-x）.

解法2：原式=-2［（x-5）2-16］=-2（x-5+4）（x-5-4）= -2（x-1）（x-9）.

师：这里将（x-5）看作一个整体，使运算更简洁，这一点做得很好！

变式1：将多项式-2（x-5）2+32中的32改为-20x+ 100，分解因式-2（x-5）2-20x+100.

解法1：原式=-2（x-5）2-20（x-5）=-2（x-5）（x-5+10）=-2（x-5）（x+5）.

解法2：原式=-2（x2-10x+25）-20x+100=-2x2+20x-50-20x+100=-2x2+50=-2（x2-25）=-2（x-5）（x+5）.

变式2：将多项式-2（x-5）2+32中的32改为20x-150，分解因式-2（x-5）2+20x-150.

解法1：原式=-2（x-5）2+20x-100-50=-2（x-5）2+20（x-5）-50=-2［（x-5）2-10（x-5）+25］=-2（x-5-5）2=-2（x-10）2.

解法2：原式=-2（x2-10x+25）+20x-150=-2x2+20x-50+20x-150=-2x2+40x-200=-2（x2-20x+100）=-2（x-10）2.

变式3：将分解因式-2（x-5）2+32改为计算［-2（x-5）2+ 32］÷（9-x）.

师：运用因式分解法进行多项式除法的本质就是：通过换元的思想，转化为单项式与单项式相除.

变式4：将分解因式-2（x-5）2+32改为解方程-2（x-5）2+32=0.

师：运用因式分解法解一元二次方程也是因式分解的一个比较重要的运用，通过因式分解把二次方程转化成已经学过的一元一次方程来解决.

例2分解因式：（x2-5x）（x2-5x+10）+25.

解：原式=（x2-5x）2+10（x2-5x）+25=（x2-5x+5）2.

变式：分解因式：（x2-5x+4）（x2-5x+6）+1.

解法1：原式=（x2-5x）2+4（x2-5x）+6（x2-5x）+24+1=（x2-5x）2+10（x2-5x）+25=（x2-5x+5）2.

生：这里仍然将（x2-5x）看作一个整体.

解法2：原式=（x2-5x+4）（x2-5x+4+2）+1=（x2-5x+4）2+ 2（x2-5x+4）+1=（x2-5x+4+1）2=（x2-5x+5）2.

生：这里将（x2-5x+4）看作一个整体.

解法3：原式=（x2-5x+6-2）（x2-5x+6）+1=（x2-5x+6）2-2（x2-5x+6）+1=（x2-5x+6-1）2=（x2-5x+5）2.

生：这里将（x2-5x+6）看作一个整体.

我们发现，这里既可以将（x2-5x）看作一个整体，也可以将（x2-5x+4）看作一个整体，将（x2-5x+6）看作一个整体也可以！

解法4：原式=（x2-5x+5-1）（x2-5x+5+1）+1=（x2-5x+ 5）2-1+1=（x2-5x+5）2.

师：同学们善于观察所给代数式的特征，有些可先借助整式的乘法进行适当变形，同时可考虑利用常用的整体换元的思想方法灵活解决问题，确实很精彩！

评析：在形成“提、套、查”的解题操作系统后，及时安排了强化环节.这个强化是通过一个“变式”系列来实现的.这个系列即围绕“提、套、查”来设置，又蕴含了整体思想，设计层层递进，目的不仅是让学生能理解掌握常用的方法直接套用公式来解决，而且进一步让学生体验理解因式分解公式中的字母可以代表任何的数、任何的整式.由于给出的代数式的复杂性，让学生学会观察和类比，明白因式分解与整式乘法的区别和联系，而不是盲目地展开计算.变式3与变式4充分体现了因式分解的重要作用和广泛应用.通过本例的学习，也让学生感受到数学中一些重要的思想方法——整体、换元、类比等思想方法，从而发现可以“整体”处理问题，达到灵活运用整体思想的提升，起到激活学生思维的作用.

例3（1）用如图1所示的两种正方形纸片各1张、长方形纸片2张拼成一个大的正方形，并运用拼成的图形验证将一个多项式分解因式，并写出这个因式分解.

图1

在黑板上用磁条放置如图1所示的四张纸片，让学生上台进行拼接.

（2）若现在有如图2所示的1张边长为a的正方形和9张边长为b的正方形，问：还需几张长为a、宽为b的长方形，才能拼成一个新的正方形？

图2

（3）假如要将多项式a2+3ab+2b2分解因式，你将利用什么图形的面积关系，将它分解因式？

师：先来解决问题（1）.

生：拼得一个新的正方形，边长为a+b.

生：可以验证a2+2ab+b2=（a+b）2.

师：很好，请问同学们，你验证的依据是什么？

生：根据拼接前后图形的总面积不变，得到一个恒等变形.

师：这就是数学中很重要的数学思想——数形结合，由图形中隐含的一个等量关系：拼接前后面积不变，得到了一个重要的数学公式，这种方法类似地可以推广到一些代数式变形中.

师：请同学们以小组为单位，对问题（2）、（3）进行合作探究.

思考：（2）中利用图形的面积关系进行因式分解，你还能用学过的知识进行分解吗？

师：a2+3ab+2b2这个式子中有没有你熟悉的部分？

生：a2+2ab+b2.

师：若从a2+3ab+b2中拆分出a2+2ab+b2后，还剩下什么呢？

学生尝试：a2+3ab+2b2拆分成a2+2ab+b2+ab+b2=（a+ b）2+b（a+b），到了这一步，大多数学生就知道怎么完成了.

评析：对例3中（3）的追问，让学生进一步感受因式分解的魅力，培养了学生的数感.通过对多项式进行局部分解，从而达到整体分解的目的，再一次体现转化思想和整体思想在数学中的应用.本问的设计也是对已学知识的补充提高.本例通过让学生亲自动手拼接，充分感悟数形结合和面积思想，问题设置由浅入深，能有效拓展学生的数学思维，激发和培养学生的探究能力和学习热情.

4.课堂小结，信息储存——帮助学生形成深刻思维

师：在本节课的学习中，你在知识层面、思想方法层面都有哪些收获？还有哪些困惑？（带领学生完善“收获之树”整理知识）

评析：与开头呼应，在知识框架中结束.随着一节课的学习，不仅已有的“知识大树”茁壮成长，而且新的“知识枝叶”不断茂盛，注重基本套路，突出数学思想方法，提升解题能力，同时让学生感受到知识在网络下的建构呈现出条理性和系统性，便于理解和掌握.

5.作业布置，深化提高——帮助学生巩固解题经验

五、教学反思

复习课不是简单的重复操练，通过复习课教学，不仅要帮助学生梳理所学知识、总结解题方法、体验数学思想，还要让这些旧知识、旧方法、旧思想焕发出新的光彩，成为学生后续学习的动力，因此复习课要立足基础，着眼能力，关注发展.

1.任务驱动回顾，呈现知识“新”脉络

知识梳理是复习课教学的重要目标，而知识结构图往往是实现这一目标的重要手段.由教师归纳总结数学知识，往往事倍功半，学生只是被动地接受，没有内化的过程.引导学生画结构图，好比是“要把一颗颗美丽的散落的珍珠串成一串漂亮的项链”，能够把思考的机会转给学生，让学生在亲历中“心领神会”.

2.学生批改纠错，搭建学习“新”平台

设置并组织“当小老师”的活动，为学生“主动学习”搭建高效的学习“平台”，让学生在一定的情境中，通过独立探究、合作交流等个体活动和社会活动积极主动地完成知识重构.在辨析知识真伪和错因剖析的过程中，打牢基础，提升兴趣，使学生对知识的理解程度、方法的掌握程度不断提升，对知识与方法形成整体认识，并发展为具体的解题操作系统.

3.追求实效巧设计，编排思维“新”例题

复习课中的例题是回顾本章的基础知识、巩固基本技能的重要工具，需要推陈出新，整合新授阶段的例题和练习题，所编排的例题应该具有综合性、延伸性的特点，并能够有一定的螺旋上升和积极的思维倾向.分解因式-2（x-5）2+32，要求学生善于观察代数式的特征，灵活选择方法解决问题，在潜移默化中向学生渗透一些重要的思想方法——整体思想.分解因式（x2-5x）（x2-5x+10）+25与a2+3ab+2b2，能使学生激活原有的知识与技能，感受类比、化归、数形结合等思想方法，使学生能站在知识系统的高度再一次感悟因式分解的知识，完成从基础知识、基本技能的掌握到数学思想和方法的领悟应用.

4.加强变式重发散，培养解题“新”习惯

紧贴教学需要，不贪多不贪深，在务“实”求“新”的设计理念指引下进行变式，一方面能促进学生“做一题，会一类，通一片”，有效提高解题能力，又能在变式过程中促进学生透过形式看本质，提升学生的数学认知水平，拓展学生的思维方式.例1的4个变式和例2的变式注重因式分解的基本套路，渗透整体、转化、换元等思想方法，同时让学生深刻地体会到万变不离其宗，培养学生的应变能力，获得应用思想方法解决问题的经验和培养学生的创新意识，有效落实“四基”，发挥出例题在教学中的最大效益.

1.徐有祥，戴世宏.任务导引式的数学复习课教学设计［J］.数学教学，2013（10）.

2.戴锦祥.追求“新”意，复习课应有的教学指向［J］.中学数学（下），2013（11）.Z