紧扣信源特点析题抓住关键信息建模*——谈中考应用型问题的讲评策略

紧扣信源特点析题抓住关键信息建模*
——谈中考应用型问题的讲评策略

☉江苏省如皋市下原初中吴文俊

在中考中，应用型问题是一种常见题型，以代数式、方程（组）、不等式和函数等为主要考查对象.这类考题一般取材于学生熟悉的生活情境，以文本、表格、图像等形式呈现试题信息.这类考题由于信息量大，信息传递形式复杂，成为了学生的应试难点.为了帮助学生形成突破这一难点的策略，我们可以抓住“信源”（信息的载体）特点详细剖析题目，抓住捕获到的关键信息建构解题模型化解问题.

一、拆解函数图像，挖掘适用模型

以图像作为信源的应用型问题在中考中是最常见的.一两幅图像，配上少量的文本信息，让试题看起来简洁明了，但实际求解却面临众多问题.能不能读懂图像，能不能将图像和文本对应起来，能不能抓住图像和文本的关键信息建构适用的解题模型，这些将都影响着问题的解决.

例1甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图1，是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图像.

（1）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；

（2）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km.

1.例题分析

这道试题的信源是一幅图像和几段文本，其中，文本信息量较小，题干部分只有75个字.显然，本题的解答就应从图像入手了.从图像看，第（1）题所求的y与x的函数解析式对应着图中的折线OABD，这是一个分段函数，OA对应着范围0≤x≤1，AB对应着范围1＜x≤1.5，BD对应着范围1.5＜x≤7，只要将这些对应段内的函数关系式求出即可解答第（1）题.第（2）题，“两车恰好相距50km”包含两种可能：①甲车行驶路程y（km）（下称y甲）比乙车行驶路程y（km）（下称y乙）多50km；②y甲比y乙少50km.体现在图像上，就是“x取同一值时，线段BD位于线段EF的上方或下方50km处.这样一来，在求出BD的解析式后，就可以直接借助两条线段的位置关系建立不同的方程求解.

图1

2.教学简录

（1）拆图.

问题：①图像中共有几条线？②是什么线？③这些线一般与什么函数有关？

学生围绕问题组展开讨论，将图中的折线OABD与分段函数、线段EF与一次函数关联在一起.

（2）析点.

学生活动：找出图像中的几种特殊点：起点、终点（说明：教学时，我们默认线左侧的端点是起点，右侧的端点为终点，下同）、交点和拐点，并说说它们的含义.

学生将图像和文本对应在一起，将图1中的O，A，B，C，D，E，F这七个点的含义在小组中进行了交流，并将能写出的坐标标注在图像上.

（3）建模.

学生活动：先分别求出图1中的线段OA，BC，EF的解析式，再思考例1中的两个问题该如何解答.

学生用待定系数法分别求出了解析式，并在小组中交流了例1的解法.教师对学生给出的解法进行了点评，并将第（2）题的两种情况进行了投影.

3.过程简析

函数图像信息题，因为图像的存在而得名，图像也就成为了学生审题的难点.拆图，让复杂的图形简单化，学生会努力将图像与自己学过的函数关联起来，与问题解决关联不大的信息会自然淡出；析点，让关键点“浮出水面”，理清这些点的坐标的实际含义与图像含义，将会为模型的建构扫清障碍；建模，基于线与图像关系的分析和点的坐标的分析，在文图呼应中，函数模型自然生成，由此生成的方程、不等式等模型就成为了学生化解问题的工具.拆图—析点—建模，这不仅是教师的教学历程，更应成为学生分析函数图像信息题的历程，是学生获得正确解题思路，形成规范解题过程的必经步骤，我们应在教学中，将这一程序化分析套路渗透在教学之中，使其内化为思维习惯，外显为解题行为.

二、剖析关键词句，准确关联模型

在中考中，还存在着一些只有文本信息的应用型问题.这类考题，只通过文本传递信息，题目中不存在表格或图像等其他信息.丰富的文本信息中，既包含着紧贴学生实际生活的问题情境，还包含着能够解决问题的数学模型.为了找寻这些“或隐或现”的数学模型，我们应加强审题指导，让学生将关键词句与常见数学模型关联起来，形成问题解决的常用套路.

例2某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园，甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲、乙两种树苗成活率分别是90%和95%.

（1）若购买这种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？

（2）要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？

（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用.

1.例题分析

这道试题的题干和问题都是以文字信息给出的，作为信息源头的文本，承载着大量信息.因此，解答本题应从文本入手，剖析题中的关键词，找寻出问题解决的数学模型.问题（1），两个“共”字，给出两个等量关系“甲种树苗的棵树+乙种树苗的棵树=1000”和“甲种树苗的费用+乙种树苗的费用=28000”，这是建立方程组的依据；问题（2），抓住题中的关键词“不低于”可以建立不等式模型求解；问题（3），“费用最低”指向了函数，利用“买树苗的费用”与树苗棵树之间的关系建立函数模型，再结合问题（2）中的取值范围确定一次函数的最大值，问题就可以得到化解.

2.教学简录

学生活动：认真阅读例2，将你认为重要的词句用笔画下来，并想一想这些语句与哪些数学模型有关.

学生读题，教师巡视，并对学生标注进行指点.3分钟后，教师组织学生开始全班交流.

教师：你画出来哪些关键词句呢？

学生1：我画的是“共1000株”，“共用去28000元”，“总成活率不低于92%”和“费用最低”这四处.

教师：为什么画这些呢？

学生2：这些关键词与数学模型有关.

教师：是吗？

学生3：“共1000株”，“共用去28000元”是明显的等量关系，可以建构出方程模型；“总成活率不低于92%”中的“不低于”很明显是个不等式模型；第（3）题中，根据题意可得，“费用最低”一定与函数有关.

教师：具体说说与哪些函数有关？

学生4：初中阶段学过的三种函数都有关系，其中用的比较多的是带取值范围的一次函数和二次函数.

教师：看来最值问题与函数有关在你们的脑海中已经扎根了.接下来，就请大家根据你们的标记和发现的解题模型解答这道例题.

3.过程简析

文本类“信源”，一般会将题中数量关系与变化规律蕴藏在关键词句中.教者抓住这道例题中的信源特点，让学生通过“读题标注”的形式，将关键信息“定格”，为建构出有效解题模型夯实了基础.例题中的两个“共”字包含着“和”的味道，是列方程的依据；“不低于”可以转化为数学符号“≥”，这是明显的不等式标记；“最低”说明要求“极值”，这与函数是一定有关联的.学生的标注与解读，将关键词句与数学模型紧密联系在一起，问题解决的思路变得十分清晰.接下来，在学生的自主解答和全班交流中，审题成果转化为解题过程，强化了学生对“关键词句的解题作用”的体验与感悟，这对他们的分析问题和解决问题能力的提升是大有益处的.

三、解读表格信息，建构适用模型

初中阶段，表格也常作为“信源”存在于应用型问题中.一般地，表格由一行或多行单元格组成，表格的第一行或第一列为表头，它指明了表格的内容和意义.由此可见，解读表格信息应从表头入手，明晰表头的含义，在弄清表头所对应的列或行的含义的基础上，理清表格中每一个单元格的实际意义，从而与方程、不等式及函数等数学模型关联起来，找到问题解决的便捷通道.

例3某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：

医疗费用范围报销比例标准不超过8000元不予报销超过8000元且不超过30000元的部分50%超过30000元且不超过50000元的部分60%超过50000元的部分70%

设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元.

（1）直接写出x≤50000时，y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，问他住院医疗费用是多少元？

1.例题分析

很明显，本题重点考查了一次函数的应用，试题选择了表格作为信息的主要呈现方式，将“医疗费用范围”及与之相对的“报销比例标准”对应呈现在表格之中.在这张表格中，表头安排在第一行，详细阐述了表格的两列的含义，第一列为“医疗费用范围”，第二列为“报销比例标准”.解答此题，解读表格成为了关键.首先，要弄清楚x、y的意义和表格中单元格的意义，再结合表格中的信息对报销金额y（元）进行分段，根据表格信息，问题（1）中的y被分为3段：“0＜x≤8000”，“8000＜x≤30000”，“30000＜x≤50000”，抓住表格中的分段信息，求出函数关系式，问题（1）得解.问题（2），先要确定20000元的报销额度落在函数的哪一段中，从而利用对应段的函数关系式建构方程求解.

2.教学简录

学生活动：学生读题，并在小组中交流各自获得的信息.3分钟后，小组交流结束.

教师：说说你获得的信息吧！

学生1：“报销比例标准”共分为四段，8000元，30000元，50000元是三条分界线，表格中给出了详细的报销比例.

教师：真不错！你是怎么找到这些分界线的？

学生2：表格共两列，第一列第一行是“医疗费用范围”，第二列第一行是“报销比例标准”.

教师：这两个单元格告诉我们什么？

学生3：“医疗费用范围”这一列，将医疗费用的范围进行了分段，“报销比例标准”这一列给出了与第一列的范围对应的报销比例.

教师：说得很好！看来我们解读表格应从表头入手，不仅要弄懂每一个单元格的意义，还要将表格中的单元格对应起来，剖析其中的数量关系和变化规律.接下来，就请大家用你们获得的信息解决这道例题.

3.过程简析

应用型问题的信息传递方式很多，表格是较为常见一种方式.为了培养学生解读表格，从表格中捕获有用解题信息的能力，教者在学生自主审题后，让他们将自己获得信息在小组和全班进行了交流，通过不同层面的交流，学生将自己获取信息的过程重新梳理一遍，将解读表格信息的方法内化为个体经验.在历经多次强化训练后，这种个体经验将会逐步转化为个体的解题行为，使学生在解决表格信息型问题时能“从表格的表头入手，紧扣单元格意义”逐级分析，找出其中的数量关系和变化规律，从而建构出解题适用的数学模型.

应用型问题，是中考的热点问题，其综合性、时代性给试题的信息解读增加了很大的难度.为了帮助学生形成应用型问题的个体化分析方法，我们应将不同信源的分析方法在教学中呈现给学生，让他们在反复解答、交流中，将这些方法不断内化，渐进中成为个体的分析和解题行为.要指导学生解读不同信源的方法，图像信源要立足文图呼应，在拆解图像中捕获关键点；文本信源应从关键词句入手，将文本与模型关联起来；表格信源应从表头分析出发，从单元格意义入手挖掘解题模型.总之，化解图像信息题，应“紧扣信源特点析题，抓住关键信息建模”.H

*本文为江苏省如皋市教育科学“十二五”规划立项课题“提高初三综合题评讲效率的研究”的研究成果．本文作者系该课题主持人．