小题大做做出精彩——一道课本习题的探究历程与感悟

☉湖北省老河口市第三中学 朱小斐

小题大做做出精彩
——一道课本习题的探究历程与感悟

☉湖北省老河口市第三中学 朱小斐

近读《中学数学》，发现有多篇文章倡导教师关注教材、理解教材、研究教材，命题研究也应回归教材.受此启发，笔者近期在教学“相似三角形”时，对课本中一道看似平常的“小题”进行“大做”，起到了事半功倍的效果.本文讲述该题的改编思路、探究历程及教学感悟，与同行研讨.

一、习题改编

原题（人教版九年级下册第58页第9题）如图1，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED.你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？

这道题主要考查相似三角形的判定，是一道开放题，起点低，入口宽，学生基本都能完成.如若只是满足于找出一对相似三角形，显然没有发挥出此题的价值，于是笔者在想：图中共有几对相似三角形？细心研究后竟然找出了8对！看来这道“小题”确实值得“大做”一番.怎样做才能更精彩呢？经过认真思考，笔者将原题做了一些发展性的改编.

图1

改编题：如图2，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F.

（1）你能在图中找出几对相似三角形？请写出并说明相似的理由.

（2）连接ED，图中又增加了几对相似三角形？请写出并证明.

改编思路：改编后变为两问，第（1）问图形更为简洁，有利于学生在相互交流中找出图中所有的相似三角形，第（2）问让学生动手连接ED，引导学生关注新生成的三角形，借助第（1）问的结论，找出△CDE∽△CAB，△ABF∽△EDF.这样设计有利于学生思维的连续性，问题逐次展开，紧密关联，从而使学生的探究活动呈自然生长的态势.

图2

二、探究历程

1.第（1）问的探究

生1：如图2，由∠ADC=∠BEC=90°，结合公共角∠C=∠C，可得△ADC∽△BEC，同理可得△AEF∽△ADC，△BDF∽△BEC，我找到了3对相似三角形.

师：很好，你这是一法多用，其他同学有补充吗？

生2：我还发现△AEF∽△BDF，因为∠AEF=∠BDF= 90°，∠AFE=∠BFD，所以△AEF∽△BDF.

师：好，已经有4对了，还有吗？

生3：我又发现了一对，是△AEF∽△BEC，因为∠EAF+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，所以∠EAF=∠EBC，又因为∠AEF=∠BEC=90°，所以△AEF∽△BEC.

生4：我也找到了△AEF∽△BEC，不过我利用了相似三角形的传递性，由△AEF∽△ADC，△ADC∽△BEC，可得△AEF∽△BEC.

生5：我受到生3的启发，发现还有一对，是△BDF∽△ADC，证明方法是类似的.

生6：这一对同样也可以利用相似三角形的传递性.

师：对.现在我们一共找到了6对相似三角形.

生7：（惊喜地）老师，我发现这6对相似三角形实际上只涉及4个三角形，它们是△AEF，△ADC，△BDF，△BEC，它们之间都是相似的，能不能把它们连在一起写？

师：当然可以.（板书：△AEF∽△ADC∽△BDF∽△BEC）

生8：我明白了，由△AEF∽△ADC∽△BDF∽△BEC，任意选取两个三角形，就能组成一对相似三角形，这样一共就有6对相似三角形.

师：说的真好！这样我们就能快速而又不重不漏地找出所有的相似三角形，值得大家学习和借鉴.

点评：教师给学生提供了充分的思考、交流、展示的机会，在师生、生生之间的对话交流与学习借鉴中，学生新的发现、精彩的观点或方法不断涌现.如生5受到生3的启发，又发现了一对相似三角形；生4和生6的证明借助了相似三角形的传递性；生7和生8的总结更是精彩，一语道破了问题的本质，为本环节的探究画上了一个圆满的句号.

2.第（2）问的探究

师：一道看似平淡无奇的题目，只要善于钻研，就会精彩绽放.下面我们继续探究，请同学们连接ED，看看图中又增加了几对相似三角形？请找出并给予证明.

生9：如图1，除了刚才发现的6对相似三角形外，我还发现了△CDE∽△CAB，先由△ADC∽△BEC，得将比例式变形为，又因为∠C=∠C，所以△CDE∽△CAB.

师：不错！借助第（1）问的结论，利用相似三角形的性质获得了证明的思路，这种方法对大家有什么启发？

生10：还有△ABF∽△EDF，是由△AEF∽△BDF，得，将比例式变形为，又因为∠AFB=∠EFD，所以△ABF∽△EDF.

生11：我还有一种证法，由△CDE∽△CAB，得∠CDE=∠CAB，即∠EBD+∠BED=∠EAD+∠BAD，而∠EBD=∠EAD，所以∠BED=∠BAD，又因为∠AFB=∠EFD，所以△ABF∽△EDF.

师：很好，看来这两位同学是受到了启发，还有不同的思路吗？

生12：还可以这样证：如图3，取AB的中点O，连接OD，OE，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OA=OB=OD=OE，所以A、B、D、E四点在以点O为圆心，OA为半径的圆上，再由同弧所对的圆周角相等得∠ABE=∠ADE，∠BAD=∠BED，所以△ABF∽△EDF.

图3

师：这个方法很新颖，你是怎么想到的？

生12：Rt△ABD和Rt△ABE有公共斜边AB，可以得出A、B、D、E四点共圆，上学期学“圆”的时候研究过.

生13：我由四点共圆得到启发，发现了△CDE∽△CAB的另一种证明方法.由圆内接四边形的对角互补得∠BAE+∠BDE=180°，又因为∠BDE+∠EDC=180°，所以∠EDC=∠BAE，又因为∠C=∠C，所以△CDE∽△CAB.

生14：我补充一下，用这个方法也可以找到∠DEC=∠ABD，又因为∠C=∠C，所以△CDE∽△CAB.

师：非常好！通过构造辅助圆，达到圆与相似的完美结合，值得大家学习.

点评：给学生充足的思考、书写时间，让他们尽情地表达、交流，在思维的碰撞中，在经验的分享中，一个个证明方法自然生长出来.尤其是生12想到构造辅助圆，借助同弧所对的圆周角相等，使证明变得简单、明朗，具有很高的思维含量，同时也加深了知识之间的内在联系，提高了学生分析问题和解决问题的能力.

三、教学感悟

1.深刻理解教材，用好教材经典例习题

章建跃教授在文1中指出：“教材不同于一般出版物，教材是要经得起反复阅读的……教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的.”教师要尊重教材，更要研究教材，善于对教材中的例习题做深度追问，进行适当的变式与拓展，力争达到“做一题，会一类，通一片”.上面展示的习题是“相似”这一章的复习题，旨在巩固相似三角形的判定，通过改编，将其“小题大做”，虽然占用了半节课的时间，但学生的收获却是丰厚的.怎样用好教材中的经典例习题，需要我们深入研究与实践.在这方面，刘东升老师基于教材例习题设计开发的“每日一题”活动（详见文2），值得我们学习和借鉴.

2.通过开放设问，追求开放的数学教学

上文中习题的两问都是开放式问题，既有答案的不唯一，又有求解方法的多样化，旨在通过开放式设问带动开放的数学教学.开放式教学鼓励学生对话交流，让不同学生表达不同的思考，教师的关键在于引导学生倾听，思辨他人思路，分享经验方法.如第（2）问的探究，生10和生11就是受到生9解题思路的启发，借助前面已证的两个三角形相似，得出两组对应边成比例，进而证明出△ABF∽△EDF，生13和生14受生12四点共圆思路的启发，发现了△CDE∽△CAB的另一种证明方法，这些精彩的课堂生成正是源自开放的数学教学.试想，这样的问题，这样的思辨如果多一些出现在我们的数学课堂上，课堂生成一定会丰富多彩，课堂教学必然精彩绽放.

1.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3～5）.

2.刘东升.经历问题生成，深刻理解教材——人教八上“每日一题”的命题实践与思考［J］.中学数学（下），2014（4）.

3.夏盛亮.引导回归教材，倡导开放教学——一次县级期末卷的命题取向分析［J］.中学数学（下），2014（1）.

4.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.H