基于AIC准则的锂离子电池变阶RC等效电路模型研究

商云龙 张 奇 崔纳新 张承慧

(山东大学控制科学与工程学院 济南 250061)



基于AIC准则的锂离子电池变阶RC等效电路模型研究

商云龙 张 奇 崔纳新 张承慧

(山东大学控制科学与工程学院 济南 250061)

提出一种变阶RC等效电路模型，并基于赤池信息量准则(AIC)辨识不同SOC处RC模型的最优阶数，兼顾了模型的准确度和实用性。通过脉冲充放电、恒流充放电以及自定义UDDS循环工况实验验证了该模型的有效性。变阶RC模型通过略增加模型的复杂度，能更加准确地描述锂离子电池两端陡、中间平的非线性电压特性，相对误差在1%以内，具有较高的实用价值。

电动汽车 动力电池 电池管理系统 变阶RC模型 赤池信息量准则(AIC)

0 引言

为了应对能源危机和环境污染，电动汽车应运而生，并成为全世界关注的焦点[1，2]。车载动力电池作为电动汽车的关键部件，其性能对整车的动力性、经济性和安全性至关重要，是制约电动汽车规模化发展的关键因素。锂离子电池具有能量密度高、使用寿命长、性价比好和单体电压高等优点，被认为是最具希望的电动汽车动力电池。我国“十二五”规划提出以车用能量型动力锂离子电池为主要发展方向，兼顾功率型动力锂离子电池的发展。

精确、实用的电池模型对车载动力锂离子电池的合理设计和安全运行具有重要意义。电池模型是开展电极反应特性研究、电池动态特性研究、电池设计以及电池管理系统设计(特别是SOC(State of Charge)、SOH(State of Health)估计和均衡控制)的基础[3，4]，是分析大规模电动汽车接入对电网影响的前提条件[5-9]。然而，建立一个精确且结构简单的电池模型绝非易事，这是因为锂离子电池内部的化学反应是一个对环境敏感且极其复杂的非线性过程，其性能参数易受SOC、电流倍率、温度、寿命及自放电等众多因素的影响，如电池端电压与SOC呈两端陡、中间平的非线性变化趋势，电池可用容量随放电电流增大而减少，电池内阻随电池温度降低而增大等。

目前，常用的电池模型按建模机理的不同可分为5类：①电化学模型；②分析模型；③随机模型；④神经网络模型；⑤等效电路模型[10，11]。电化学模型使用复杂的非线性微分方程描述电池内部的化学过程。该模型虽然精确，但因其太抽象而不能表征电池的电气性能参数(如内阻、端电压等)，不适宜于电气设计、仿真及控制[12]。分析模型是简化的电化学模型，它用一个降阶方程表征电池的非线性容量效应及运行时间，但不能描述电池的I-V特性[13]。随机模型主要关注电池的恢复特性，它将电池的行为描述为一个马尔科夫过程。随机模型能很好地描述电池的脉冲放电特性，但不适合变电流负载的情况[14]。神经网络模型具有非线性特性、并行结构和学习能力等优点，但需要大量实验数据训练，且模型误差易受训练数据和训练方法的影响。因此，神经网络模型更适用于批量生产的成熟产品[15]。等效电路模型是指根据电池的物理特性使用不同物理元器件(如电压源、电流源、电容和电阻等)构成等效电路模型来模拟电池的I-V特性，适用于锂离子电池、镍氢电池和铅酸电池等多种电池。等效电路模型因具有简单直观的形式以及适宜于电气设计与仿真等优点而被广泛应用。目前主要有Rint模型[16]、Thevenin模型[17]、一阶RC模型[17]、PNGV模型[18]、简化的Massimo Ceraolo模型[17](即二阶RC模型)以及GNL模型[19]。文献[20]提出了分布参数等效电路模型，为从电池外特性分析电池内部情况提供了一种有效方法。文献[21]提出了一种KiBaM模型与二阶RC模型的混合电池模型，能同时描述电池的外动态特性和恢复效应。在等效电路模型方面，取得了大量研究成果，但鲜有既准确度高又实用的电池模型。特别是，上述定结构等效电路模型难以描述锂离子电池两端陡、中间平的非线性电压特性，不能解决模型准确性和实用性之间的矛盾。

本文提出一种根据SOC变阶的RC等效电路模型，以期在电池电压变化较为剧烈的指数区，切换为高阶的RC模型，以保证模型的准确度；在电池电压变化较为缓慢的平台区，则切换为低阶的RC模型，以尽量降低模型的复杂度。但电池实际系统的阶数往往是未知的，如果模型阶数过高，不但会增加计算量，还会产生大量的冗余项，导致模型的实用性较差；如果模型阶数过低，会造成重要数据丢失，不能很好地拟合实际系统，导致模型的准确度降低。因此，不同SOC处的模型阶数的合理选取是变阶RC模型的一个难点。赤池信息量准则(Araike Information Criterion，AIC)因同时兼顾了模型的准确度和实用性，成为衡量模型优良性的一种有效方法。

1 变阶RC等效电路模型

电动汽车动力电池SOC和SOH的精确估计依赖于一个精确且易实现的电池模型。一般来说，一个良好的电池模型应具备两点：①能够准确描述电池的动、静态特性；②模型本身的复杂度较低，易于工程实现。事实上，电池内部的化学反应是一个对环境敏感且极其复杂的非线性过程。用传统定阶的电池模型(如二阶RC模型[17])难以解决模型准确度和实用性之间的矛盾。因此，本文提出一种根据SOC变阶的RC等效电路模型，如图1所示。

图1所示变阶RC等效电路模型包括运行时间电路和I-V特性电路两部分。其中，Ubat为电池的端电压；ibat为电池的端电流；Rd为电池的自放电电阻；CQ为电池的可用容量；Ro为欧姆内阻；R1为电化学极化内阻；C1为电化学极化电容；R2为浓差极化内阻；C2为浓差极化电容；R3为变阶内阻；C3为变阶电容；Q1、S1、Q2、S2为变阶RC模型的切换开关；OCV为电池的开路电压，是SOC的函数；下标d表示放电，c表示充电。下面分别从4方面描述变阶RC模型的工作原理。

1.1 可用容量

如图1左半部分所示，电池的可用容量可由一个大电容CQ表示

CQ=3 600·Capacity·f1(Cycle)·f2(Temp)

(1)

式中：Capacity为电池的标准容量，Ah；f1(Cycle)和f2(Temp)分别为电池循环寿命和温度的修正因子，通常设置为恒值1。自放电电阻Rd用来模拟电池存储一段时间后的自放电特性。理论上，Rd是SOC、温度和循环次数的函数，但在实际应用中，一般将其简化成一个大电阻或忽略不计。

1.2 开路电压(OCV)模型

电池的开路电压OCV与SOC存在较强的非线性关系，现有文献中一般采用多项式描述OCV与SOC间的非线性关系。多项式阶数和变量数量的选取是否合适，直接影响模型的准确度和计算量。因此，为了能够更加准确地描述OCV与SOC之间的关系，可参考几种电池的简化电化学模型[11]：Shepherd、Unnewehr和Nernst模型。将这些模型结合起来，可获得一种较理想的开路电压模型

(2)

式中a1～a5为待定常数，可根据实验数据基于最小二乘法辨识得到。

1.3 状态空间模型

电池放电结束后，端电压呈指数规律变化，可由RC网络模拟，其零输入响应可表述为[22]

(3)

式中：下标i为RC网络标号，其值为1、2或3；τi为第i个RC网络的时间常数，即τi=RiCi；Ui(t)为第i个RC网络的支路电压；Ui(0+)为电池放电结束瞬间RiCi支路的端电压初值，其值可表述为

Ui(0+)=Riibat

(4)

式中Ri为第i个RC网络中并联的电阻。

式(3)中支路电压Ui(t)随时间的增长而逐渐减小，当t→∞时，Ui(t)趋于0，此时电池端电压等于电池的OCV。因此，放电结束后电池端电压的变化过程可表述为

(5)

电池放电过程中电池端电压的零状态响应可表述为

(6)

式中Ro为电池的欧姆内阻。

根据式(3)～式(6)，并选取RC网络中电容电压作为状态变量，可得到系统的状态方程为

(7)

式中k为采样时刻。

如图1所示，系统的观测方程为

(8)

1.4 模型状态切换

通过控制开关Q1、S1和Q2、S2的状态可实现一阶、二阶和三阶RC模型的按需切换。表1为模型阶数与开关状态的对应关系，其中状态1表示开关闭合，0表示开关断开。图2为模型状态切换框图。

表1 模型阶数与开关状态的对应关系

图2 模型状态切换Fig.2 Model state switching

通过控制切换开关的状态，变阶RC模型能实现在电池电压变化较为剧烈的指数区，切换为高阶RC模型，以保证模型的准确度；在电池电压变化较为缓慢的平台区，切换为低阶RC模型，以尽量降低模型的复杂度。

2 基于AIC准则的模型阶数辨识

AIC准则是衡量模型优良性的一种标准，建立在熵的概念基础上，同时兼顾了模型的准确度和实用性。

AIC的一般形式可表述为[23，24]

(9)

式中：T为实验数据数量；m为模型未知参数数量；SSE(Sum of Squares for Error)为残差平方和，表述为

(10)

(11)

式中指数d的引进增加了对模型过度拟合的惩罚力度，其为大于1的恒值，本文取d=4。

根据式(5)，RC模型的阶数n与模型未知参数m之间的关系可表述为

m=2n+1

(12)

将式(5)和式(12)分别代入式(11)，可得到RC阶数选择的AIC准则

(13)

式中Ubat(t)为实验中获得的电池端电压。

基于AIC准则辨识不同SOC处的最优模型阶数，兼顾了模型的准确度和实用性，为本文提出的变阶RC模型阶数的合理选取提供了理论依据。

3 仿真及实验验证

本文研究对象为16并16串圆柱型26650磷酸铁锂动力电池组，标称容量为50Ah，标称电压为51.2V。如图3所示，电池测试平台由AVL电池模拟/测试柜、AVL控制柜、电池高低温箱以及AVLLynx软件组成。实验记录电池的端电压、电流和SOC等工况值，记录频率为1Hz。

图3 动力电池测试平台Fig.3 The power battery test platforms

为了搭建电池模型，参考《FreedomCAR电池实验手册》中的混合脉冲实验(Hybrid Pulse Power Characterization Test，HPPC)[25]，将其改为脉冲充电和脉冲放电实验。所谓脉冲放电，即在室温25±2℃下，将充满电的电池以1/3C电流放电至SOC为90%时，停止放电并静置1 h，然后以同样电流放电至SOC为80%，以此类推，直至SOC为10%时结束。脉冲充电与脉冲放电类似。为了验证模型的有效性，还需要进行恒流充、放电和自定义UDDS工况放电实验。

3.1 模型阶数辨识

图4为电池放电方向和充电方向上不同阶数的RC模型对应的AIC值。根据AIC的“吝啬原理”，最佳模型应是AIC值最小的那一个。当SOC为10%和90%时，应选三阶RC模型；当SOC为20%、30%、…、80%时，应选二阶RC模型。显然，当10%

图4 不同阶数的RC模型对应的AIC值Fig.4 The AIC values of different order RC models

图5 脉冲放电后磷酸铁锂离子电池的电压恢复特性及使用不同阶RC网络的拟合结果Fig.5 The voltage-recovery characteristic of lithium-ion battery after pulse discharge and the fitting result using different order RC network

为验证上述模型阶数选择的合理性，图5给出了一阶、二阶和三阶RC网络在不同SOC处模拟电池电压恢复特性的曲线。显然，RC网络的阶数越高，拟合的就越好。当SOC为10%或90%时，一阶和二阶RC网络模拟误差较大，而三阶RC网络模拟准确度较高，因此应选择三阶RC模型；但当SOC为50%时，从二阶RC网络到三阶RC网络，其拟合准确度变化不大，但模型复杂度却增加了，因此应选择二阶RC模型。由此可见，基于AIC准则选择电池模型阶数合理有效，兼顾了模型的准确度和实用性。

3.2 模型参数辨识

图6为变阶RC等效电路模型的充放电方向参数辨识结果，其中下标d表示放电，下标c表示充电。根据3.1节基于AIC准则的阶数辨识结果，当0≤SOC<20%和80%

考虑电池的磁滞效应，分别在不同SOC处(即10%、20%、…、90% SOC)辨识电池的充电OCV和放电OCV，然后求取平均值，得到电池的平均OCV，将平均OCV及其对应的SOC代入式(2)，基于最小二乘法辨识参数a1～a5，并统计于表2中。图7给出了充电OCV、放电OCV、平均OCV以及基于最小二乘法拟合的OCV与SOC的关系曲线。

图6 变阶RC模型充、放电方向参数辨识结果Fig.6 Parameter identification of variable-order RC model under charge and discharge

参数a1a2a3a4a5数值3.3776.551×10-2-3.050×10-43.468×10-6-3.636×10-2

图7 开路电压OCV与SOC的关系曲线Fig.7 Relationship curves between OCV and SOC

3.3 实验结果分析

图8、图9分别为脉冲充放电条件下基于AIC准则的变阶RC模型与传统二阶RC模型的对比结果。在电池静置阶段，变阶RC模型的输出值比二阶RC模型的输出值更接近实验值，且几乎与真值重合，这说明变阶RC模型能更好地描述电池电压的回弹特性；在电池充放电阶段，变阶RC模型的准确度也明显高于二阶RC模型。如图8、图9放大部分所示，当SOC低于20%或高于80%时，变阶RC模型将由二阶模型切换为三阶模型，由于模型参数和结构的突变，模型输出瞬间出现波动，但随后很快收敛到实验值附近，并未影响到模型总体准确度。总体来看，通过略增加模型复杂度，变阶RC模型的准确度高达0.68%，明显高于传统二阶RC模型的准确度1.87%，证明了基于AIC准则的变阶RC模型的优越性。

图8 脉冲放电下变阶数RC模型与二阶RC模型输出电压对比Fig.8 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under pulse discharge

图9 脉冲充电下变阶RC模型与二阶RC模型输出电压对比Fig.9 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under pulse charge

图10、图11分别为在恒流充、放电工况下变阶RC模型与传统二阶RC模型的对比结果。总体来看，在充放电初期的模型误差略大于在中间平台区的模型误差，进一步验证了锂离子电池两端陡、中间平的非线性电压特性。如图10、图11中放大部分所示，当SOC穿越20%或80%时，变阶RC模型发生状态切换，模型输出瞬间突变，但很快收敛到实验真值附近，其最大相对误差为0.67%；而二阶RC模型虽然不会发生突变，但总体准确度仍低于变阶RC模型，其最大相对误差为1.85%。

为进一步验证变阶RC模型的适用性，图12给出了自定义UDDS循环工况下变阶RC模型输出值与二阶RC模型输出值和实验值的对比结果及误差曲线。如图12中放大部分所示，当SOC穿越20%或80%时，变阶RC模型输出发生突变，但很快收敛到实验真值附近。与恒流充、放电工况相比，UDDS循环工况下，由于负载电流变化非常剧烈，模型状态切换对模型输出造成的影响可基本忽略。总体来看，变阶RC模型输出值与实验值之间的一致性较好，小电流充放电和静置阶段的模型误差较小，在高倍率放电时，模型误差有所增加，主要原因是模型参数随电流的变化发生了改变。如误差曲线所示，变阶RC模型的最大相对误差在1%以内，实用价值较高。

图10 恒流放电下变阶RC模型与二阶RC模型输出电压对比Fig.10 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under constant-current discharge

图11 恒流充电下变阶RC模型与二阶RC模型输出电压对比Fig.11 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under constant-current charge

图12 UDDS动态工况下变阶RC模型与二阶RC模型输出电压对比Fig.12 An output voltage comparison between the variable-order RC model and two-order RC model under UDDS test cycles

通过以上对比可知，本文提出的变阶RC等效电路模型虽然在状态切换时输出会出现瞬间波动，但其误差仍小于二阶RC模型的误差，并随后很快收敛到实验值附近，基本未影响模型的性能。可见，变阶RC模型的准确度优于传统的二阶RC模型，模型复杂度却远低于三阶RC模型，有效克服了模型精确性和实用性之间的矛盾。该模型适用于动力电池的恒流充放电、脉冲充放电及UDDS循环工况。

4 结论

本文提出了一种基于AIC准则的锂离子电池变阶RC等效电路模型，阐述了变阶RC模型的工作原理和模型阶数的辨识方法，并通过恒流充放电、脉冲充放电和UDDS循环工况实验验证了模型的优越性。仿真和实验结果表明：基于AIC准则的变阶RC等效电路模型通过略增加模型的复杂度，能更加准确地描述锂离子电池两端陡、中间平的非线性电压特性，模型相对误差在1%以内，有效克服了模型准确度和实用性之间的矛盾，具有较高的实用价值。基于AIC准则的变阶RC等效电路模型能够用于电池管理系统设计、电池模拟器研发和电动汽车及其配套能源供给设施建设等领域，具有广泛的应用前景。

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Research on Variable-order RC Equivalent Circuit Model for Lithium-Ion Battery Based on the AIC Criterion

ShangYunlongZhangQiCuiNaxinZhangChenghui

(School of Control Science and Engineering Shandong University Jinan 250061 China)

A variable-order RC equivalent circuit model based on the Akaike information criterion (AIC) is proposed to identify the optimal RC model order with different state of charge (SOC)，which considers both the accuracy and the practicability of the model.The validity of the proposed model is verified under the working conditions of pulse charging/discharging，constant current charging/discharging，and urban dynamometer driving schedule (UDDS) test cycles.By slightly increasing the model’s complexity，the proposed variable-order RC equivalent circuit model can precisely simulate the lithium-ion battery’s nonlinear characteristics，steep-at-the-edge and flat-in-the-middle，with less than 1% relative error.Thus the model has high application value.

Electric vehicles，power batteries，battery management systems，variable-order RC model，Akaike information criterion (AIC)

国家自然科学基金(61320106011、61273097和51277116)资助项目。

2014-12-16 改稿日期2015-06-14

TM912

商云龙 男，1984年生，博士，研究方向为电动汽车动力电池建模、状态估计和均衡控制等。

张 奇 男，1987年生，助理实验师，研究方向为电动汽车、控制理论与应用、实验技术等。